Рассмотрим ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$, где $a_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}+1}$.
1) Признак Лейбница (чередующийся ряд). Пусть $b_n=\frac{1}{\sqrt{n}+1}>0$. Функция $f(x)=(\sqrt{x}+1{)}^{-1}$ имеет производную
$$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+1{)}^2}<0(x>0),$$ следовательно $b_n$ монотонно убывает, и
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{n}+1}=0.$$ Условия признака Лейбница выполнены, значит ряд сходится.
2) Абсолютная сходимость. Рассмотрим ряд положительных членов $\sum b_n=\sum \frac{1}{\sqrt{n}+1}$. Сравним с $1/\sqrt{n}$:
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1/(\sqrt{n}+1)}{1/\sqrt{n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1}=1.$$ Так как ряд $\sum 1/\sqrt{n}$ (p‑ряд с $p=\frac{1}{2}$) расходится, то по предельному признаку сравнения ряд $\sum b_n$ тоже расходится. Следовательно исходный ряд не абсолютно сходится.
Вывод: ряд сходится условно (сходится по Лейбницу, но не абсолютно).
Дополнительные тонкости: для применения Лейбница достаточно монотонности $b_n$ лишь начиная с некоторого $N$ (не обязательно с $n=1$); если монотонность отсутствует, можно пробовать признаки Дирихле или Абеля. Оценка остатка для Лейбница: для суммы $S$ и частичной суммы $S_N$ верно $|S-S_N|\le b_{N+1}=\frac{1}{\sqrt{N+1}+1}$.