Решение: $|x^2-5x+6|=2$. Три метода, обсуждение и итог.
1) Классическое разбиение на случаи (самый очевидный метод).
- Поскольку модуль равен 2, имеют место два уравнения:
$x^2-5x+6=2$ и $x^2-5x+6=-2$.
- Первое: $x^2-5x+4=0$. Дискриминант $D=25-16=9$, корни $x=\frac{5\pm 3}{2}\Rightarrow x=1,4$.
- Второе: $x^2-5x+8=0$. Дискриминант $D=25-32=-7<0$ — вещественных корней нет.
- Вывод: $x=1,4$.
Когда предпочтителен: быстрый и прямой, удобен для простых подстановок $=\pm 2$.
2) Приведение к вершине параболы (полезно при анализе формы квадратичной функции).
- Запишем в виде вершины: $x^2-5x+6=(x-2.5{)}^2-0.25$.
- Условие: ∣(x−2.5)2−0.25∣=2\big|(x-2.5)^2-0.25\big|=2 (x−2.5)2−0.25 =2. Значит либо $(x-2.5{)}^2-0.25=2$, либо $(x-2.5{)}^2-0.25=-2$.
- Первое даёт $(x-2.5{)}^2=2.25\Rightarrow x-2.5=\pm 1.5\Rightarrow x=1,4$.
- Второе даёт $(x-2.5{)}^2=-1.75$ — невозможно в вещественных числах.
- Вывод: $x=1,4$.
Когда предпочтителен: удобно, если нужно понять возможные значения квадратичной функции или видно, что одна из ветвей невозможна.
3) Возведение в квадрат и факторизация (полезно для систематического алгебраического подхода).
- Квадрат обеих частей (оба неотрицательны): $(x^2-5x+6{)}^2=4$.
- Переносим в левую: $(x^2-5x+6{)}^2-4=0$. Это разность квадратов:
$(x^2-5x+6-2)(x^2-5x+6+2)=0$.
- То есть $(x^2-5x+4)(x^2-5x+8)=0$. Первая дает $x=1,4$, вторая не даёт вещественных корней.
- Вывод: $x=1,4$.
Когда предпочтителен: удобен при работе с симметрией выражения, при систематической алгебраической обработке или когда хочется получить факторизацию; безопасен, так как здесь возведение в квадрат не вводит посторонних вещественных корней.
Итог (решение уравнения): $x=1$ и $x=4$.