Ответ: все xxx такие, что x>12x>\frac{1}{2}x>21. Способы решения (кратко): 1) Геометрически (расстояния). Неравенство ∣x−2∣<∣x+1∣|x-2|<|x+1|∣x−2∣<∣x+1∣ означает: точка xxx ближе к 222, чем к −1-1−1. Множество точек, ближе к 222 чем к −1-1−1, — правая часть числовой прямой относительно середины отрезка [−1,2][-1,2][−1,2], т.е. x>(−1)+22=12x>\frac{(-1)+2}{2}= \frac{1}{2}x>2(−1)+2=21. 2) Квадратирование (безопасно здесь, потому что обе стороны неотрицательны). ∣x−2∣<∣x+1∣ ⟺ (x−2)2<(x+1)2.
|x-2|<|x+1|\iff (x-2)^2<(x+1)^2. ∣x−2∣<∣x+1∣⟺(x−2)2<(x+1)2.
Разложим: x2−4x+4<x2+2x+1 ⟹ −4x+4<2x+1 ⟹ −6x<−3 ⟹ x>12.
x^2-4x+4 < x^2+2x+1 \implies -4x+4<2x+1 \implies -6x<-3 \implies x>\frac{1}{2}. x2−4x+4<x2+2x+1⟹−4x+4<2x+1⟹−6x<−3⟹x>21. 3) Разбор по знакам (абсолютные значения раскрыть в три случая). - Для x≥2x\ge2x≥2: x−2<x+1x-2<x+1x−2<x+1 — верно для всех таких xxx (даёт x≥2x\ge2x≥2). - Для −1≤x<2-1\le x<2−1≤x<2: 2−x<x+1 ⟹ x>122-x<x+1 \implies x>\frac{1}{2}2−x<x+1⟹x>21 даёт 12<x<2\frac{1}{2}<x<221<x<2. - Для x<−1x<-1x<−1: даёт противоречие. Итого x>12x>\frac{1}{2}x>21. Типичные ошибки при возведении в квадрат: - В общем случае из a<ba<ba<b нельзя без проверки сделать a2<b2a^2<b^2a2<b2, если aaa или bbb могут быть отрицательными (пример: −3<2-3<2−3<2, но 9>49>49>4). - Здесь же абсолютные значения гарантируют неотрицательность сторон, поэтому квадратирование сохраняет неравенство. - Ещё ошибка — забыть обратить знак при делении на отрицательное число при упрощении (нужно следить за знаками). Проверка ответов: - Проверить граничный случай x=12x=\frac{1}{2}x=21: ∣12−2∣=∣12+1∣=32|\tfrac12-2|=|\tfrac12+1|= \tfrac32∣21−2∣=∣21+1∣=23 — равенство, значит не входит (строгое <). - Подставить тестовые точки: x=1x=1x=1: ∣−1∣<∣2∣|-1|<|2|∣−1∣<∣2∣ верно; x=0x=0x=0: ∣−2∣<∣1∣|-2|<|1|∣−2∣<∣1∣ неверно. - Можно проверить знак функции f(x)=∣x−2∣−∣x+1∣f(x)=|x-2|-|x+1|f(x)=∣x−2∣−∣x+1∣: решение — где f(x)<0f(x)<0f(x)<0, что даёт x>12x>\tfrac12x>21.
Способы решения (кратко):
1) Геометрически (расстояния).
Неравенство ∣x−2∣<∣x+1∣|x-2|<|x+1|∣x−2∣<∣x+1∣ означает: точка xxx ближе к 222, чем к −1-1−1. Множество точек, ближе к 222 чем к −1-1−1, — правая часть числовой прямой относительно середины отрезка [−1,2][-1,2][−1,2], т.е. x>(−1)+22=12x>\frac{(-1)+2}{2}= \frac{1}{2}x>2(−1)+2 =21 .
2) Квадратирование (безопасно здесь, потому что обе стороны неотрицательны).
∣x−2∣<∣x+1∣ ⟺ (x−2)2<(x+1)2. |x-2|<|x+1|\iff (x-2)^2<(x+1)^2.
∣x−2∣<∣x+1∣⟺(x−2)2<(x+1)2. Разложим:
x2−4x+4<x2+2x+1 ⟹ −4x+4<2x+1 ⟹ −6x<−3 ⟹ x>12. x^2-4x+4 < x^2+2x+1 \implies -4x+4<2x+1 \implies -6x<-3 \implies x>\frac{1}{2}.
x2−4x+4<x2+2x+1⟹−4x+4<2x+1⟹−6x<−3⟹x>21 .
3) Разбор по знакам (абсолютные значения раскрыть в три случая).
- Для x≥2x\ge2x≥2: x−2<x+1x-2<x+1x−2<x+1 — верно для всех таких xxx (даёт x≥2x\ge2x≥2).
- Для −1≤x<2-1\le x<2−1≤x<2: 2−x<x+1 ⟹ x>122-x<x+1 \implies x>\frac{1}{2}2−x<x+1⟹x>21 даёт 12<x<2\frac{1}{2}<x<221 <x<2.
- Для x<−1x<-1x<−1: даёт противоречие.
Итого x>12x>\frac{1}{2}x>21 .
Типичные ошибки при возведении в квадрат:
- В общем случае из a<ba<ba<b нельзя без проверки сделать a2<b2a^2<b^2a2<b2, если aaa или bbb могут быть отрицательными (пример: −3<2-3<2−3<2, но 9>49>49>4).
- Здесь же абсолютные значения гарантируют неотрицательность сторон, поэтому квадратирование сохраняет неравенство.
- Ещё ошибка — забыть обратить знак при делении на отрицательное число при упрощении (нужно следить за знаками).
Проверка ответов:
- Проверить граничный случай x=12x=\frac{1}{2}x=21 : ∣12−2∣=∣12+1∣=32|\tfrac12-2|=|\tfrac12+1|= \tfrac32∣21 −2∣=∣21 +1∣=23 — равенство, значит не входит (строгое <).
- Подставить тестовые точки: x=1x=1x=1: ∣−1∣<∣2∣|-1|<|2|∣−1∣<∣2∣ верно; x=0x=0x=0: ∣−2∣<∣1∣|-2|<|1|∣−2∣<∣1∣ неверно.
- Можно проверить знак функции f(x)=∣x−2∣−∣x+1∣f(x)=|x-2|-|x+1|f(x)=∣x−2∣−∣x+1∣: решение — где f(x)<0f(x)<0f(x)<0, что даёт x>12x>\tfrac12x>21 .