Короткий ответ: на компактном отрезке контрпримера нет — утверждение верно. Контрпример возможен на множестве бесконечной меры.
Контрпример (неограниченная по мере область): на $[0,\infty )$ положим
$$f_n(x)=\frac{1}{n}(x\ge 0).$$ Тогда $f_n\to 0$ равномерно (так как ${\sup }_x|f_n(x)-0|=1/n\to 0$), но
$${\int }_0^{\infty }|f_n(x)|dx={\int }_0^{\infty }\frac{1}{n}dx=+\infty \nrightarrow {\int }_0^{\infty }0dx=0.$$ Итого: равномерная сходимость сама по себе не гарантирует сходимость интегралов, если область интегрирования имеет бесконечную меру или функции не интегрируемы.
Когда утверждение истинно: пусть $f_n$ и $f$ интегрируемы на конечном отрезке $[a,b]$ и $f_n\to f$ равномерно. Тогда абсолютная функция непрерывна, значит $|f_n|\to |f|$ равномерно, и, в частности,
sup⁡x∈[a,b]∣∣fn(x)∣−∣f(x)∣∣→0. \sup_{x\in[a,b]} \big||f_n(x)|-|f(x)|\big|\to0.
x∈[a,b]sup ∣fn (x)∣−∣f(x)∣ →0. Используя неравенство ∣∣x∣−∣y∣∣≤∣x−y∣\big||x|-|y|\big|\le|x-y| ∣x∣−∣y∣ ≤∣x−y∣, получаем
∣∫ab∣fn∣−∫ab∣f∣∣≤∫ab∣∣fn∣−∣f∣∣≤(b−a)sup⁡x∈[a,b]∣∣fn(x)∣−∣f(x)∣∣→0. \left|\int_a^b |f_n|-\int_a^b |f|\right|\le\int_a^b \big||f_n|-|f|\big|\le (b-a)\sup_{x\in[a,b]}\big||f_n(x)|-|f(x)|\big|\to0.
∫ab ∣fn ∣−∫ab ∣f∣ ≤∫ab ∣fn ∣−∣f∣ ≤(b−a)x∈[a,b]sup ∣fn (x)∣−∣f(x)∣ →0. Следовательно ${\int }_a^b|f_n|\to {\int }_a^b|f|$.
Аналогично для измеримых функций и Лебега: при конечной мере множества и равномерной сходимости имеем доминирование постоянной ${\sup }_x|f_n(x)|$ и можно применять теорему о доминированной сходимости.