Задача: $y^{\prime }=\sqrt{|y|},y(0)=0$.
Кратко — выводы
- Существование: есть (по теореме Пеано), поскольку $f(y)=\sqrt{|y|}$ непрерывна в окрестности $(0,0)$.
- Единственность нарушается: $f$ не является липшицевой по $y$ в окрестности $y=0$, поэтому теорема Пикарда—Линдёлёфа не применима, и на самом деле существует бесконечно много решений с данным начальным условием.
Причины нарушения уникальности (коротко и формально)
- Липшицевость не выполняется: для $y>0$ $$f^{\prime }(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}\to \infty \text{при}y\to 0^{+},$$ или проще
$$\frac{|f(y)-f(0)|}{|y-0|}=\frac{\sqrt{y}}{y}=\frac{1}{\sqrt{y}}\to \infty .$$ Значит нет константы $L$ и окрестности нуля, где $|f(y_1)-f(y_2)|\le L|y_1-y_2|$ для всех $y_1,y_2$.
Конструктивное построение множества решений
- Для любого параметра $a\ge 0$ определим функцию
$$y_a(t)=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le t\le a,\\ {\left(\frac{t-a}{2}\right)}^2,& t\ge a,\end{array}$$ и например продлим на $(-\epsilon ,0)$ как $0$. Тогда $y_a(0)=0$ и для $t>a$ отделением переменных получаем для положительной ветви
$$\int \frac{dy}{\sqrt{y}}=\int dt⟹2\sqrt{y}=t-C,$$ при начальном условии $\sqrt{y(a)}=0$ получаем $C=a$ и $y(t)={\left(\frac{t-a}{2}\right)}^2$. Легко проверить, что $y_a$ склеивается $C^1$-гладко в $t=a$ (производные с обеих сторон равны $0$), следовательно каждая $y_a$ является решением. Для разных $a$ получаем разные решения; в частности $y\equiv 0$ (случай $a=+\infty$) и нетривиальные решения (например $a=0$: $y(t)={\left(\frac{t}{2}\right)}^2$ при $t\ge 0$, $0$ при $t\le 0$).
Альтернативные пути представления и доказательства (варианты)
1. Отделение переменных и явное решение для положительной ветви: при $y\ge 0$ имеем $2\sqrt{y}=t+C$, откуда семейство решений, и параметр склейки даёт неоднозначность.
2. Интегральная форма: решение удовлетворяет
$$y(t)={\int }_0^t\sqrt{|y(s)|}ds.$$ Подставляя функции, построенные выше, проверяем равенство — это показывает неоднозначность через свободный параметр времени «старта» роста.
3. Замена переменной $u=\sqrt{y}$ (при $y\ge 0$): тогда $y^{\prime }=2u{u}^{\prime }$ и уравнение даёт $2u{u}^{\prime }=u$. Для $u\ne 0$ имеем $u^{\prime }=\frac{1}{2}$, т.е. $u(t)=(t-C)/2$. Нулевая ветвь $u\equiv 0$ также возможна; склейка этих ветвей даёт тот же семейственный набор решений.
4. Общий критерий: для уравнений $y^{\prime }=|y{|}^{\alpha }$ с $0<\alpha <1$ липшицевость отсутствует и наблюдается подобная неоднозначность — это общий класс контрпримеров к единственности при слабой регулярности правой части.
5. Контрапозиция с теоремой единственности: показать явный пример двух различных решений с одним начальным условием, что опровергает возможность единственности в данной ситуации.
Условия восстановления единственности
- Единственность восстанавливается, если потребовать липшицевость в $y$ в окрестности нуля (например заменить правую часть на функцию с тем же значением в нуле, но липшицевую), либо рассматривать области, удалённые от $y=0$, где $f$ гладкая. Также требование дополнительного условия (например $y^{\prime }(0)=c\ne 0$) исключит тривиальную «застывшую» часть и даст единственность для соответствующего класса решений.
Короткая итоговая формулировка:
- Существование: да (Пеано). Уникальность: нет (отсутствие липшицевости в нуле), явный контрпример — семейство функций $y_a$ выше.