7-й класс — базовая задача (формулировка и краткое решение)
Задача.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол при $C$ равен $90^{\circ }$, $AC=6$, $BC=8$. Найдите гипотенузу $AB$, площадь $S$ и радиус вписанной окружности $r$.
Краткое решение.
- По теореме Пифагора $AB=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$.
- Площадь $S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$.
- Полупериметр $s=\frac{6+8+10}{2}=12$. Вписанный радиус $r=\frac{S}{s}=\frac{24}{12}=2$.
Олимпиадное усложнение (формулировка, идеи решения и проверяемые навыки)
Усложнённая задача.
Пусть в треугольнике $ABC$ заданы стороны $AC=a=6$ и $BC=b=8$ (угол при $C$ произвольный). Рассмотрим множество всех таких треугольников (с общей вершиной $C$ и фиксированными длиннами сторон к ней). Найти:
1) выражение для вписанного радиуса $r$ через угол $C$;
2) для каких значений угла $C$ радиус $r$ достигает максимума; найти этот максимум численно и описать уравнение, которому удовлетворяет оптимальный угол.
Идея решения (кратко).
- Через угол $C$ записываем третью сторону
$$c=AB=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}.$$ - Площадь $\Delta =\frac{1}{2}ab\sin C$, полупериметр $s=\frac{a+b+c}{2}$. Поэтому
$$r=\frac{\Delta }{s}=\frac{ab\sin C}{a+b+c}.$$ - Задача сводится к одномерной оптимизации функции
$$f(C)=\frac{ab\sin C}{a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}}.$$ Варианты подхода:
- дифференцирование по $C$ (аналитически получить условие стационарности; это даёт уравнение
$$(a+b+c)c\cos C=ab{\sin }^{2}C,$$ где $c$ зависит от $\cos C$); далее решить это уравнение численно;
- замена переменной $t=\tan \frac{C}{2}$ и алгебраическое приведение выражения к рациональной функции от $t$ и затем исследование её;
- численный поиск максимума (сравнение значений $r$ при нескольких $C$).
Численный результат для $a=6,b=8$ (ориентир).
При вычислениях максимум $r$ достигается примерно при $C\approx 78^{\circ }$ и
$$r_{\max }\approx 2.046\dots$$ (точное аналитическое значение даётся корнем полученного уравнения стационарности).
Какие дополнительные свойства вводятся и какие навыки проверяются
- Дополнительные геометрические свойства и представления:
- зависимость третьей стороны $c$ от угла $C$ через закон косинусов;
- выражение площади через две стороны и синус включённого угла;
- связь между площадью, полупериметром и вписанным радиусом ($r=\Delta /s$).
- Навыки и методы, проверяемые в усложнении:
- превращение геометрической задачи в задачу оптимизации одной переменной; владение тригонометрическими преобразованиями;
- дифференцирование и исследование экстремумов (или применение рациональных подстановок типа $t=\tan \frac{C}{2}$);
- алгебраическая манипуляция с корнями и уравнениями, численное решение уравнений;
- умение интерпретировать численный результат геометрически.
Такое усложнение переводит задачу из уровня вычислений (7-й класс) в задачу аналитической геометрии/олимпиадного характера с применением тригонометрии, анализа и численных методов.