Задача (диагностическая): оцените для каждого из утверждений, является ли оно тождеством (истинно для всех допустимых значений переменных), уравнением (истинно лишь при некоторых значениях) или противоречием (не истинно ни при каких значениях). Для каждого пункта кратко обоснуйте и укажите множество решений (если есть).
1) $(x+1{)}^2=x^2+2x+1$.
2) $2x+3=5$.
3) $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$.
4) $x^2+1=(x+1{)}^2$.
5) ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.
Ожидаемые типичные (правильные) ответы и короткие обоснования:
- 1) Тождество: раскрываем скобки — $x^2+2x+1=x^2+2x+1$, верно для всех $x$.
- 2) Уравнение (условное): решаем — $2x+3=5\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1$.
- 3) Равенство истинно для всех $x\ne 1$: $\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ при $x\ne 1$; при $x=1$ левая часть не определена. Тождеством на множестве всех реальных чисел это не является, но является тождеством на области определения $x\ne 1$.
- 4) Уравнение (условное): $x^2+1=(x+1{)}^2\Rightarrow x^2+1=x^2+2x+1\Rightarrow 0=2x\Rightarrow x=0$.
- 5) Тождество: известное тригонометрическое тождество, верно для всех реальных $x$.
Какие неверные ответы укажут на какие заблуждения (примеры и интерпретация):
- Неверно назвать пункт 1) уравнением с частным решением (например, сказать «решение $x=0$») — показывает, что ученик путает тождество с уравнением и, возможно, делает выводы на основании проверки одного-двух значений вместо алгебраического преобразования.
- Неверно назвать пункт 2) тождеством — показывает неспособность проверить множество значений (непонимание, что тождество должно быть истинно для всех $x$). Часто связано с тем, что проверяют только одно решение и обобщают.
- Для пункта 3): сказать «тождество для всех $x$» (не отметить $x\ne 1$) — указывает на игнорирование области определения/деления на ноль при сокращении множителей; говорить «не тождество вовсе» — может указывать на непонимание упрощения дробей.
- Для пункта 4): назвать тождеством (утверждать верность при всех $x$) — показывает, что ученик не раскрывает скобки и не упрощает выражения; назвать противоречием — вероятна арифметическая ошибка при сокращении.
- Для пункта 5): отвергнуть как уравнение с одним решением или протестировать только несколько значений — показывает непонимание природы тригонометрических тождеств и склонность к эмпирической проверке вместо доказательства.
Критерии оценки (коротко): за каждый пункт давать полный балл, если классификация верна и приведено корректное обоснование (включая замечания про область определения), частичный — если классификация верна, но обоснование только проверкой отдельных значений, ноль — если классификация неверна.