Кратко: точка $D$ — пересечение прямой $AB$ с перпендикулярным биссектором отрезка $AC$. Подробно:
Конструкция (компас + линейка):
1. Постройте два окружности с центрами в $A$ и $C$ и одинаковым радиусом $r>\frac{1}{2}AC$ (например, любой радиус, больший полуотрезка $AC$).
2. Обозначьте их точки пересечения $P$ и $Q$. Соедините $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ — перпендикулярный биссектор отрезка $AC$.
3. Найдите точку $D$ как пересечение прямых $PQ$ и $AB$. Тогда по построению $AD=DC$.
Альтернативная схема (отражение): отразите точку $C$ относительно $AB$, получите $C^{\prime }$. Точка $D$ на $AB$, удовлетворяющая $AD=DC$, равносильна требованию $AD=D{C}^{\prime }$, т.е. $D$ лежит на перпендикулярном биссекторе $A{C}^{\prime }$; пересечение этого биссектора с $AB$ даёт ту же точку $D$.
Неоднозначности (число решений):
- Возможны либо 1 решение, либо 0 решений; 2 решения не бывает.
- Обоснование: множество точек, равных по расстоянию до $A$ и $C$, — это прямая (перпендикулярный биссектор отрезка $AC$). Пересечение двух прямых (биссектора и $AB$) даёт либо одну точку (общий случай), либо отсутствие пересечения (прямые параллельны). Совпадение прямых (бесконечно много решений) не происходит, так как $C$ не лежит на $AB$ (и $A\ne C$).
- Случай без решения: когда $AB$ параллельна перпендикулярному биссектору $AC$. Это происходит тогда и только тогда, когда $AB\perp AC$ (тогда биссектор тоже перпендикулярен $AC$ и проходит не через $A$, значит параллелен $AB$).
Использованные теоремы и факты:
- Теорема о перпендикулярном биссекторе: все точки, равноудалённые от концов отрезка $AC$, лежат на перпендикулярном биссекторе отрезка $AC$, и наоборот.
- Свойства пересечения прямых: две разные прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.
- Для построения биссектора использовано свойство окружностей: пересечения двух окружностей с равными радиусами дают точки, соединение которых — биссектор отрезка между центрами.