Система:
$$2x+3y-z=1,4x+6y-2z=2,x-y+2z=3.$$
1) Совместность и ранги. Вторая строка равна $2$·(первой), т.е.
$$4x+6y-2z=2⟺2(2x+3y-z)=2,$$ поэтому вторая уравнение зависит от первого и избыточно. Ранг матрицы коэффициентов равен $2$ (две независимые строки), число неизвестных $3$, значит система совместна и имеет бесконечно много решений (степень свободы $=1$).
2) Нахождение общего решения. Положим параметр $t=z$. Тогда из первых и третьего уравнений:
$$2x+3y=1+t,x-y=3-2t.$$ Умножая второе на $3$ и складывая с первым:
$$(2x+3y)+(3x-3y)=1+t+9-6t⟹5x=10-5t⟹x=2-t.$$ Далее $y=x-(3-2t)=(2-t)-(3-2t)=t-1$. Таким образом общее решение:
$$(x,y,z)=(2-t,t-1,t),t\in \mathbb{R},$$ или в векторной форме
$$(x,y,z)=(2,-1,0)+t(-1,1,1).$$
3) Какие шаги избыточны или вводят погрешности. Избыточно использовать второе уравнение как новое независимое условие (оно лишь дублирует первое). При гауссовом исключении появление нулевой строки соответствует избыточности, а не противоречию; ошибкой было бы трактовать такую нулевую строку как несовместность. Возможные источники погрешности: деление на нулевой или почти нулевой главный элемент (нельзя делить на $0$), и численные ошибки при работе с плавающей точкой (избегать лишнего масштабирования/округления).