Тригонометрическая подстановка (проще и короче):
Подставим $(x,y)=(\cos t,\sin t)$. Тогда
$$f={\cos }^{2}t+\cos t\sin t+{\sin }^{2}t=1+\frac{1}{2}\sin 2t.$$ Значит $\max f$ при $\sin 2t=1$, $\min f$ при $\sin 2t=-1$. Следовательно
$$\max f=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2},\min f=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$ Точки достижения: при $\sin 2t=1$ — $t=\pi /4+k\pi$, т.е. $(x,y)=(\pm \frac{\sqrt{2}}{2},\pm \frac{\sqrt{2}}{2})$ (одного знака); при $\sin 2t=-1$ — $t=-\pi /4+k\pi$, т.е. $(x,y)=(\pm \frac{\sqrt{2}}{2},\mp \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Метод Лагранжа (систематично, пригоден для общих ограничений):
Возьмём $g(x,y)=x^2+y^2-1$. Уравнения $\nabla f=\lambda \nabla g$ дают
$$2x+y=2\lambda x,x+2y=2\lambda y.$$ Ненулевое решение требует равенства определителя нулю:
$$(2-2\lambda {)}^2-1=0⟹\lambda =\frac{3}{2}\text{или}\lambda =\frac{1}{2}.$$ Для $\lambda =\frac{3}{2}$ получаем $y=x$ и на окружности $x^2=\frac{1}{2}$, $f=\frac{3}{2}$ (максимум). Для $\lambda =\frac{1}{2}$ получаем $y=-x$ и $f=\frac{1}{2}$ (минимум). Совпадает с методом подстановки.
Выбор метода: для круга тригонометрическая подстановка проще и быстрее; метод Лагранжа полезен для более общих ограничений и для формального обоснования экстремумов.