Коротко: $C(1000,500)=\frac{1000!}{500{!}^2}$. Оценка по Стирлингу даёт простую и точную асимптику:
1) Стирлинг (основная формула)
$$n!\sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e}{)}^n.$$ Применяя к $1000!$ и $500!$ получаем (для $n=500$, т.е. $C(2n,n)$)
$$C(1000,500)\sim \frac{4^{500}}{\sqrt{\pi \cdot 500}}.$$ Численно
$$\sqrt{\pi \cdot 500}\approx 39.636\Rightarrow C(1000,500)\approx \frac{2^{1000}}{39.636}\approx 2.703\times 10^{299}.$$
2) Логарифмические приближения (энтропийный подход)
Общее асимптотическое поведение для $C(n,k)$ записывается через энтропию
$$H(p)=-p\ln p-(1-p)\ln (1-p),p=\frac{k}{n},$$ и
$$\ln C(n,k)=nH(p)+O(\ln n).$$ Для $k=n/2$ имеем $H(1/2)=\ln 2$, поэтому в нулевом порядке
$$\ln C(1000,500)\approx 1000\ln 2\approx \mathrm{693.147.}$$ Стирлингово уточнение даёт следующий член порядка $\ln n$:
$$\ln C(1000,500)=1000\ln 2-\frac{1}{2}\ln (\pi \cdot 500)+\cdots$$ что даёт $\ln C\approx 689.4675$ и приводит к той же численной величине $\approx 2.70\times 10^{299}$.
3) Сравнение методов и погрешности
- «Чистый» логарифмический (энтропийный) подход даёт правильный экспоненциальный порядок $e^{nH(p)}$, но пропускает полиномиальный множитель (фактор $\sqrt{n}$ и константы), который в логарифме даёт вклад $O(\ln n)$ и может смещать десятки логарифмических единиц (здесь ≈3.68 в натуральных логарифмах).
- Стирлинговоe приближение в форме для факториалов даёт и экспоненциальный член, и точный (порядка $n^{-1/2}$) множитель; дополнительные члены асимптотики ($1/(12n)$, и т.д.) дают очень малую относительную поправку: для $n=500$ следующий член даёт множитель $\exp (-1/(8n)+\dots )\approx 0.99975$ (ошибка порядка $10^{-4}$ в относительном масштабе).
- Практически: для численных оценок и корректных значащих цифр следует работать с логарифмами и со Стирлинговым разложением (включая член $\frac{1}{2}\ln (2\pi n)$); для оценки лишь порядка величины достаточно первого энтропийного члена.
Итого: асимптотика
$$C(1000,500)\sim \frac{4^{500}}{\sqrt{\pi \cdot 500}}\approx 2.703\times 10^{299},$$ а использование Стирлинга в логарифмической форме даёт более точный результат и контролируемую малую относительную погрешность по сравнению с только экспоненциальным (энтропийным) приближением.