Доказательство прямого утверждения.
Пусть последовательность $(x_n)$ сходится к числу $L$. Обозначим средние арифметические
$$y_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{x}_k.$$ Для произвольного $\epsilon >0$ найдётся $N$ такое, что для всех $k\ge N$ выполнено $|x_k-L|<\epsilon$. Для $n\ge N$ распишем
∣yn−L∣=∣1n∑k=1n(xk−L)∣≤1n∑k=1N−1∣xk−L∣+1n∑k=Nn∣xk−L∣. |y_n-L|
=\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (x_k-L)\right|
\le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N-1}|x_k-L|+\frac{1}{n}\sum_{k=N}^n|x_k-L|.
∣yn −L∣= n1 k=1∑n (xk −L) ≤n1 k=1∑N−1 ∣xk −L∣+n1 k=N∑n ∣xk −L∣. Вторая сумма не превосходит $(n-N+1)\epsilon /n\le \epsilon$; первая равна константе, делённой на $n$, и стремится к нулю при $n\to \infty$. Следовательно $|y_n-L|\le \epsilon +o(1)$, откуда $y_n\to L$. (Это стандартное доказательство методом ε–N.)
Обратное утверждение (если средние сходятся, то исходная последовательность сходится) в общем ложное.
Контрпримеры:
- $x_n=(-1{)}^n$. Тогда
$$y_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(-1{)}^k\to 0,$$ но $x_n$ не сходится (две пределы $+1$ и $-1$).
- «Спайковая» последовательность: пусть $x_n=0$ для всех $n$, кроме $n=2^m$, где $x_{2^m}=2^m$. Тогда средние
$$y_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{x}_k\to 2,$$ но $(x_n)$ неограничена и, следовательно, не сходится.
Когда обратное утверждение верно — некоторые достаточные (Tauber-тип) условия.
1) Тривиально: если дополнительно известно, что $(x_n)$ сходится, то, конечно, средние сходятся (это прямая часть). Но требуется условие, достаточное для вывода сходимости $x_n$ из сходимости средних:
2) Условие на «медленную» изменчивость (стандартная Tauber-гипотеза):
Если средние
$$A_n:=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{x}_k\to L$$ и выполнено
$$n(x_n-x_{n+1})\to 0\text{при}n\to \infty ,$$ то $x_n\to L$. (Это частный случай Tauber–теоремы: малая разность соседних членов препятствует «быстрым колебаниям», которые могли бы быть «замаскированы» усреднением.)
3) Условие на скорость сходимости средних:
Если $A_n\to L$ и при этом
$$n(A_n-L)\to 0,$$ то из равенства
$$x_n=n{A}_n-(n-1)A_{n-1}$$ следует $x_n\to L$. То есть достаточно, чтобы средние сходились достаточно быстро: $A_n-L=o(1/n)$.
4) Условия типа «ограниченность + регулярность»:
Если $A_n\to L$ и $(x_n)$ ограничена и, например, является монотонной начиная с некоторого номера (или имеет предел точки предела по модулю колебаний), то $x_n\to L$. (Здесь монотонность+ограниченность сама по себе уже даёт сходимость, поэтому условие часто формулируют как «последовательность ограничена и не колеблется слишком резко»; конкретные формулировки различаются.)
Краткое резюме:
- Прямое утверждение верно и доказывается ε–аргументом.
- Обратное в общем ложное (есть простые контрпримеры: чередующаяся или «спайковая» последовательности).
- Обратное становится верным при дополнительных Tauber-условиях, например при ограничении быстроты изменения $n(x_n-x_{n+1})\to 0$ или при требовании быстрой сходимости средних $n(A_n-L)\to 0$, либо при дополнительных регулярностях (ограниченность + отсутствие резких колебаний / монотонность и т.п.).