Независимые броски (честная монета). Всего три исхода с ровно двумя орлами: HHT, HTH, THH; каждый имеет вероятность $(1/2{)}^3$. Следовательно
$$P(\text{ровно 2 орла})=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^3=3\cdot \frac{1}{8}=\frac{3}{8}.$$
Зависимые броски — общий комментарий. При зависимости последовательность исходов уже не равновероятна, поэтому ответ меняется и определяется полной совместной распределением. Нужна модель зависимости; приведу простую и прозрачную модель первого порядка (Марковская).
Марковская модель (память 1). Обозначим $\pi =P(H_1)$, $p=P(H_n\mid H_{n-1})$, $q=P(H_n\mid T_{n-1})$. Тогда
$$P(\text{ровно 2 орла})=P(HHT)+P(HTH)+P(THH),$$ где
$$P(HHT)=\pi \cdot p\cdot (1-p),P(HTH)=\pi \cdot (1-p)\cdot q,P(THH)=(1-\pi )\cdot q\cdot p.$$ Итого
$$P_{2H}=\pi p(1-p)+\pi (1-p)q+(1-\pi )qp.$$ Проверка: при $\pi =\frac{1}{2},p=q=\frac{1}{2}$ получаем $\frac{3}{8}$.
Короткие примеры (иллюстрация направления изменения):
- При $\pi =\frac{1}{2},p=0.9,q=0.1$ получаем $P_{2H}=0.095$ (меньше $\frac{3}{8}$).
- При $\pi =\frac{1}{2},p=q=0.9$ получаем $P_{2H}=0.455$ (больше $\frac{3}{8}$).
Альтернативная модель зависимости (обмениваемая смесь). Можно считать, что монета имеет случайную вероятность орла $\Theta$ (например, $\Theta \sim$ Beta) и при заданной $\Theta$ броски независимы: $P(H_i\mid \Theta )=\Theta$. Тогда
$$P(\text{ровно 2 орла})=3\mathbb{E}[{\Theta }^2(1-\Theta )],$$ и при требовании $\mathbb{E}[\Theta ]=\frac{1}{2}$ значение зависит от дисперсии $\mathrm{Var}(\Theta )$.
Краткий вывод: при независимых честных бросках ответ $\frac{3}{8}$. При зависимости ответ меняется и зависит от выбранной модели (напр., Марковская модель или смесь), причём в зависимости от параметров вероятность может как уменьшаться, так и увеличиваться относительно $\frac{3}{8}$.