Ошибка: при делении на выражение $x-1$ не проверили случай $x=1$. При $x=1$ знаменатель равен нулю и исходное выражение не определено, поэтому деление на $x-1$ нельзя выполнять для всех $x$.
Корректное оформление решения:
1. Уточнить область допустимых значений: $x\ne 1$ (иначе дробь $\frac{x^2-1}{x-1}$ не определена).
2. Для $x\ne 1$ упростить:
$$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.$$ 3. Получаем тождество $x+1=x+1$ для всех $x\ne 1$, значит все такие $x$ удовлетворяют уравнению.
Итог: множество решений $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ne 1\}$. (Значение $x=1$ исключается, так как выражение не определено.)