Для последовательности a_{n+1} = a_n + 1/n, n >= 1, исследуйте поведение a_n при n->infty и обсудите, какие начальные условия меняют тип предела
Для последовательности a_{n+1} = a_n + 1/n, n >= 1, исследуйте поведение a_n при n->infty и обсудите, какие начальные условия меняют тип предела
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
an+1=an+1na_{n+1}=a_n+\tfrac{1}{n}an+1 =an +n1 даёт
an=a1+∑k=1n−11k=a1+Hn−1, a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}=a_1+H_{n-1},
an =a1 +k=1∑n−1 k1 =a1 +Hn−1 , где HmH_mHm — гармонический ряд. Приращение an+1−an=1n>0a_{n+1}-a_n=\tfrac{1}{n}>0an+1 −an =n1 >0, значит последовательность строго возрастает.
2) Поведение при n→∞n\to\inftyn→∞.
Гармонический ряд расходится, Hn−1→+∞H_{n-1}\to+\inftyHn−1 →+∞. Следовательно для любого конечного a1∈Ra_1\in\mathbb{R}a1 ∈R an→+∞(n→∞). a_n\to+\infty\quad(n\to\infty).
an →+∞(n→∞).
3) Асимптотика.
Известно Hn−1=lnn+γ+o(1)H_{n-1}=\ln n+\gamma+o(1)Hn−1 =lnn+γ+o(1) (где γ\gammaγ — постоянная Эйлера), поэтому
an=lnn+(a1+γ)+o(1). a_n=\ln n+(a_1+\gamma)+o(1).
an =lnn+(a1 +γ)+o(1).
4) Какие начальные условия меняют тип предела.
- При любом конечном a1a_1a1 предельное поведение одно и то же: an→+∞a_n\to+\inftyan →+∞.
- Единственный формальный способ получить иной тип предела — задать нефиксированное (зависящее от nnn) стартовое значение, либо допустить бесконечное начальное значение (например a1=−∞a_1=-\inftya1 =−∞ или изменить знак приращений в рекурренте). В классической задаче с фиксированным конечным a1a_1a1 предел всегда +∞+\infty+∞.