Решение.
1) Проверка тривиального случая. Если существует $a$ с $f(a)=0$, то для любых $x$ $$f(x)=f(x-a+a)=f(x-a)f(a)=0,$$ т.е. либо $f\equiv 0$, либо $f(x)\ne 0$ для всех $x$.
2) Значение в нуле. Подставив $y=0$ в уравнение, получаем
$$f(x)=f(x)f(0)\forall x,$$ откуда либо $f\equiv 0$, либо $f(0)=1$.
3) Непрерывность в одной точке ⇒ везде. Пусть $f$ непрерывна в некоторой точке $x_0$ и не тождественно ноль. Тогда при $y\to 0$ имеем
$$f(x_0+y)=f(x_0)f(y)\to f(x_0),$$ откуда $f(y)\to 1$ при $y\to 0$, т.е. $f$ непрерывна в нуле. Для любого $x$ и $y\to 0$ $$f(x+y)=f(x)f(y)\to f(x)\cdot 1=f(x),$$ значит $f$ непрерывна в произвольной точке $x$. (Это показывает «тонкость»: достаточно непрерывности в одной точке.)
4) Знак и логарифм. Если $f$ не тождественно ноль, то $f(0)=1>0$. Так как $f$ непрерывна и не обнуляется, она не может менять знак (иначе по теореме о промежуточных значениях была бы нулевая точка). Значит $f(x)>0$ для всех $x$. Поэтому можно ввести
$$g(x)=\ln f(x).$$ Из функционального уравнения следует
$$g(x+y)=\ln f(x+y)=\ln (f(x)f(y))=\ln f(x)+\ln f(y)=g(x)+g(y),$$ и $g$ непрерывна (как композиция непрерывных функций).
5) Решение уравнения Аддитивности. Непрерывные решения уравнения $g(x+y)=g(x)+g(y)$ имеют вид $g(x)=cx$ для некоторой константы $c\in \mathbb{R}$. Следовательно
$$f(x)=e^{g(x)}=e^{cx}.$$
Итог: все непрерывные функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, удовлетворяющие $f(x+y)=f(x)f(y)$, это либо
$$f\equiv 0,$$ либо
$$f(x)=e^{cx}\text{для некоторого}c\in \mathbb{R}.$$