Решение для $\int {\cos }^{2}xdx$:
Используем тождество приведения
${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$.
Тогда
$$\int {\cos }^{2}xdx=\int \frac{1+\cos 2x}{2}dx=\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int \cos 2xdx=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin 2x}{2}+C=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C.$$ (Можно также записать $\frac{\sin 2x}{4}=\frac{1}{2}\sin x\cos x$.)
Типичные ошибки при интегрировании степеней тригонометрических функций:
- Неправильное тождество: писать ${\cos }^{2}x=\cos 2x$ или ${\cos }^{2}x=(1+\cos x)/2$.
- Забыт факт деления при интегрировании $\cos 2x$: $\int \cos 2xdx=\frac{1}{2}\sin 2x$.
- Пропуск постоянной интегрирования $+C$.
- Пытаться подстановкой $u=\cos x$ напрямую для чётных степеней без наличия $\sin x$ в интеграле (нельзя выразить $dx$ через $du$ без $\sin x$).
- Для нечётных степеней неправильно разложивать: для ${\cos }^{2k+1}x$ удобна подстановка $u=\sin x$ после вынесения одной косинусы; для ${\sin }^{2k+1}x$ — $u=\cos x$.
Обобщение для $\int {\cos }^{n}xdx$ (формула редукции). Пусть $I_n=\int {\cos }^{n}xdx$. Интегрируя по частям (взять $u={\cos }^{n-1}x,dv=\cos xdx$) получаем
$$I_n=\frac{1}{n}{\cos }^{n-1}x\sin x+\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}.$$ Базовые случаи: $I_0=\int dx=x+C,I_1=\int \cos xdx=\sin x+C$. Для чётного $n$ формулу применяют итеративно до $I_0$ (или используют тождества приведения); для нечётного $n$ удобна подстановка $u=\sin x$ после выделения одной косинусы.