Утверждение верно.
Пусть $E\subset [0,1]$ — измеримое множество и $m(E)=0$. Предположим противное, что внутренняя часть $\mathrm{int}(E)$ (в стандартной топологии на $\mathbb{R}$ или относительно $[0,1]$) непустая. Тогда существует открытый интервал $I$ такой, что $I\cap [0,1]\subset E$. В частности найдётся непустой отрезок $(a,b)\subset I\cap [0,1]$ с $b-a>0$. По монотонности меры
$$m(E)\ge m((a,b))=b-a>0,$$ что противоречит $m(E)=0$. Следовательно $\mathrm{int}(E)=\varnothing$.