Рассматриваем ряд ${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\ln n{)}^p}$.
1) Интегральный признак. Рассмотрим функцию $f(x)=\frac{1}{x(\ln x{)}^p}$, положительную и убывающую при $x\ge e$. По замене $u=\ln x$, $du=\frac{dx}{x}$,
$${\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x(\ln x{)}^p}={\int }_{\ln 2}^{\infty }{u}^{-p}du.$$ Если $p\ne 1$, то ∫ln⁡2∞u−pdu=u1−p1−p∣ln⁡2∞\int_{\ln2}^{\infty}u^{-p}du=\left.\frac{u^{1-p}}{1-p}\right|_{\ln2}^{\infty}∫ln2∞ u−pdu=1−pu1−p ln2∞ , что сходится тогда и только тогда, когда $1-p<0$, т.е. $p>1$. При $p=1$ получаем ${\int }_{\ln 2}^{\infty }\frac{du}{u}=\infty$. По интегральному признаку ряд сходится ⇔ интеграл сходится, значит ряд сходится при $p>1$ и расходится при $p\le 1$.
2) Альтернативный (Cauchy condensation). Для убывающей $a_n=\frac{1}{n(\ln n{)}^p}$ ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }{2}^k{a}_{2^k}$. Но
$$2^k{a}_{2^k}=\frac{2^k}{2^k(\ln 2^k{)}^p}=\frac{1}{(\ln 2{)}^p}\cdot \frac{1}{k^p},$$ что даёт ряды вида константа$\cdot \sum k^{-p}$, сходящиеся при $p>1$ и расходящиеся при $p\le 1$.
3) Тонкости при $p=1$. Ряд ${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\ln n}$ расходится, но очень медленно: частичные суммы растут как
$$\sum _{n=2}^N\frac{1}{n\ln n}\sim \ln \ln N+C,$$ поэтому при $p=1$ нет абсолютной «малости» — разложение медленное, но разложение всё же расходится.
Итого: ряд сходится при $p>1$ и расходится при $p\le 1$.