Классическое доказательство (противоречие, «в несократимой дроби»).
1) Предположим противное: $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$, где $p,q\in \mathbb{Z}$, $q\ne 0$, и дробь несократима, т.е. $\gcd (p,q)=1$.
2) Возведём в квадрат: $2=\frac{p^2}{q^2}$, откуда $2q^2=p^2$.
3) Из $2q^2=p^2$ следует, что $p^2$ чётно, значит $p$ чётно: $p=2k$.
4) Подставим: $2q^2=(2k{)}^2=4k^2$ ⇒ $q^2=2k^2$. Тогда $q^2$ чётно ⇒ $q$ чётно.
5) Получаем, что и $p$, и $q$ чётны, значит у них общий делитель $2$, что противоречит $\gcd (p,q)=1$. Следовательно исходное предположение ложно, и $\sqrt{2}$ иррационально.
Ключевые допущения и свойства, используемые в доказательстве:
- представление рационального числа как несократимой дроби $\frac{p}{q}$ (целые $p,q$, $q\ne 0$, $\gcd (p,q)=1$);
- факт: если $p^2$ чётно, то $p$ чётно (или более общая лемма: если простое $r$ делит $a^2$, то $r$ делит $a$); этот факт опирается либо на простую арифметику чётности, либо на фундаментальную теорему арифметики (единственность разложения на простые множители);
- метод доказательства от противного (противоречие).
Альтернативные доказательства (не менее одного):
А) Метод бесконечного спуска (вариант классического): предположим, что $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ в несократимой дроби. Показывают (как выше), что $p$ и $q$ чётны, значит можно разделить оба на $2$ и получить меньшую по числителю и знаменателю пару $(p^{\prime },q^{\prime })$ с тем же свойством. Повторяя, получаем бесконечно убывающую последовательность положительных целых чисел — противоречие с принципом благих упорядоченных множеств (или с тем, что в положительных целых есть минимум). Значит $\sqrt{2}$ иррационально.
B) Через простые множители (фундаментальная теорема арифметики): при разложении на простые множители квадрат любого целого числа имеет чётные показатели степеней всех простых. В уравнении $p^2=2q^2$ правая часть даёт, что в разложении левой стороны (то есть в $p^2$) простая $2$ встречается с нечётным показателем (потому что справа одна единица от множителя $2$ плюс чётные степени из $q^2$), а по свойству квадратов все показатели чётны — противоречие.
C) Через непрерывную дробь: $\sqrt{2}=[1;\overline{2}]$ — бесконечная периодическая непрерывная дробь. У рациональных чис непрерывная дробь всегда конечна (или заканчивается 1 и т.п.), поэтому бесконечная дробь даёт иррациональность $\sqrt{2}$.
(Любой из перечисленных альтернативных подходов использует либо принцип бесконечного спуска, либо уникальность разложения на простые множители, либо свойства непрерывных дробей.)