Пусть выпуклый $n$-угольник задан вершинами $A_1,A_2,\dots ,A_n$ по порядку и взят внутрь (или в вершине) некоторый пункт $P$. Диагонали $P{A}_i$ делят многоугольник на $n$ треугольников
$T_i=△P{A}_i{A}_{i+1}$ (индексы по модулю $n$). Обозначим площадь $T_i$ через $S_i$ и полную площадь многоугольника через $S_{\text{tot}}$.
Условие и его доказательство
- Необходимое и достаточное условие: все $T_i$ имеют одинаковую площадь тогда и только тогда, когда
$$|A_i{A}_{i+1}|\cdot d(P,A_i{A}_{i+1})=\text{const}\text{для всех}i,$$ где $d(P,A_i{A}_{i+1})$ — расстояние от точки $P$ до прямой, проходящей через $A_i{A}_{i+1}$.
- Доказательство. По формуле площади треугольника через основание и высоту
$$S_i=[P{A}_i{A}_{i+1}]=\frac{1}{2}|A_i{A}_{i+1}|\cdot d(P,A_i{A}_{i+1}).$$ Следовательно $S_i=S_j$ для всех $i,j$ эквивалентно равенству произведений $|A_i{A}_{i+1}|\cdot d(P,A_i{A}_{i+1})$ для всех $i$. Это доказывает указанную эквивалентность. (Также заметим, что при равенстве всех $S_i$ их общая величина задаётся единственным числом
$$S_i=\frac{S_{\text{tot}}}{n},$$ и тогда константа равна $2S_{\text{tot}}/n$.)
Примеры
- Регулярный $n$-угольник: для центра $O$ все расстояния $d(O,A_i{A}_{i+1})$ равны и все стороны равны, поэтому все $S_i$ равны.
- Равносторонний треугольник: для центра (совпадающего с инцентром) соединения центра с вершинами дают три равные по площади треугольника.
Контрпримеры
- Произвольный выпуклый многогранник и произвольная внутренняя точка $P$ обычно не удовлетворяют условию, поскольку расстояния $d(P,A_i{A}_{i+1})$ не будут обратно пропорциональны длинам сторон. Например, в невырожденном нерегулярном четырёхугольнике при любом «случайном» выборе $P$ обычно $S_1\ne S_2\ne S_3\ne S_4$.
- Треугольник: соединения некоторой точки $P$ с вершинами дают три равные площади только в треугольнике с равными сторонами (равностороннем); для общего треугольника такого $P$ не существует (кроме тривиального положения вне рассматриваемой постановки).
Краткая практическая формулировка: чтобы диагонали из точки $P$ делили многоугольник на равные по площади треугольники, нужно и достаточно, чтобы для каждого ребра $[A_i{A}_{i+1}]$ произведение его длины на расстояние от $P$ до его прямой было одно и то же для всех ребер.