Кратко и по делу — методы и выводы.
1) Локальное существование и единственность
- Рассматриваем задачу Коши $y^{\prime }=f(x,y)$, $f(x,y)=y^2-x^2$. Функция $f$ гладкая на ${\mathbb{R}}^2$, локально по $y$ липшицева, поэтому для любых начальных данных $(x_0,y_0)$ по теореме Пикара–Линделёфа существует единственное локальное решение.
2) Преобразование Риккати → линейное уравнение 2-го порядка (основной аналитический приём)
- Подставим $y=-\frac{u^{\prime }}{u}$ (при $u\not\equiv 0$). Тогда
$$y^{\prime }=-\frac{u^{\prime \prime }}{u}+(\frac{u^{\prime }}{u}{)}^2,$$ и уравнение $y^{\prime }=y^2-x^2$ превращается в линейное
$$u^{\prime \prime }=x^{2}u.$$ - Обратно: для любого решения $u$ уравнения $u^{\prime \prime }=x^{2}u$ функция $y=-u^{\prime }/u$ (определённая на промежутках, где $u\ne 0$) даёт решение исходного Риккати.
3) Характер максимального промежутка и критерий взрыва
- Линейное уравнение $u^{\prime \prime }=x^{2}u$ имеет решения, определённые на всей $\mathbb{R}$. Нули $u(x_{\ast })=0$ — изолированы; в точке нуля $y=-u^{\prime }/u$ имеет простой полюс, т.е. $y(x)\to \pm \infty$ при $x\to x_{\ast }.$ Следовательно: максимальный промежуток существования решения $y(x)$ с заданными начальными данными ограничен ближайшими к $x_0$ нулями соответствующего $u$. Если $u$ не имеет нулей на всей $\mathbb{R}$, то соответствующее $y$ глобально определено на $\mathbb{R}$; иначе решение $y$ «взрывается» (имеет полюс) в конечной точке, где $u$ обращается в ноль.
4) Ассимптотика и типичный («общий») вид решений
- С помощью WKB-приближения для больших $|x|$ общие решения $u$ имеют поведение, близкое к линейной комбинации экспонент:
$$u(x)\sim C_{+}{x}^{-1/2}{e}^{x^3/3}+C_{-}{x}^{-1/2}{e}^{-x^3/3}.$$ Тогда
$$y=-\frac{u^{\prime }}{u}\sim \{\begin{array}{ll}-x^2& \text{если доминирует}{e}^{x^3/3},\\ +x^2& \text{если доминирует}{e}^{-x^3/3}.\end{array}$$ Из этого видно: типичное поведение при $|x|\to \infty$ — рост как $\pm x^2$, и для общих комбинаций возникают переходы и нули $u$ (а значит полюсы $y$).
5) Выводы о глобальном существовании
- Для любых $(x_0,y_0)$ существует уникальное максимальное решение; его границы определяются нулями соответствующего решения $u$ линейного уравнения.
- Глобальные решения на всей $\mathbb{R}$ существуют тогда и только тогда, когда соответствующее $u$ не имеет действительных нулей. Такие начальные данные — исключительны (для «общих» комбинаций $C_{+},C_{-}$ нули есть), поэтому типично решение $y$ имеет полюс в конечной точке и не продолжается на всю ось.
- В частных случаях (подбор начальных данных, соответствующих $u$ без нулей) можно получить глобальное решение; детальное описание множества таких начальных данных требует дальнейшего анализа уравнения $u^{\prime \prime }=x^{2}u$ (Sturm–теория, анализ седловых решений, WKB, численный подбор).
6) Дополнительно — практические методы исследования
- Picard–Lindelöf для локального поведения.
- Преобразование Риккати→линейное для глобальной структуры и связи с нулями $u$.
- WKB/асимптотический анализ для поведения при $|x|\to \infty$.
- Теория нулей (Sturm, сравнение) для локализации полюсов $y$.
- Численные методы (стрельба) для нахождения начальных данных, дающих отсутствие нулей у $u$.
Кратко: локальная единственность есть всегда; глобальность решений эквивалентна отсутствию нулей у решения $u^{\prime \prime }=x^{2}u$; в общем случае решения $y$ имеют полюса (взрываются) в конечных точках, т.к. соответствующие $u$ обычно нулевы.