Классическое объяснение — через инвариант «черно‑белая» раскраска.
1) Числа. На доске $8\times 8$ всего $(8\times 8=64)$ клеток, при стандартной шахматной раскраске было по $32$ чёрных и $32$ белых. Удалены два противоположных угла — они одного цвета, значит после удаления осталось $62$ клетки с распределением цветов $(30,32)$ (или $(32,30)$).
2) Инвариант. Любая доминошка $2\times 1$ покрывает ровно одну чёрную и одну белую клетку. Значит набор всех доминошек покрывает одинаковое число чёрных и белых клеток. $31$ доминошка покрыла бы $(31,31)$, но на доске после удаления углов чёрных и белых клеток $(30,32)$ — противоречие. Следовательно покрытие невозможно.
3) Общий метод. Это метод раскраски и подсчёта инварианта: подобрать раскраску (обычно двухцветную для доминошек), считать число клеток каждого цвета; любое покрытие данным тайлом изменяет или сохраняет некоторую комбинацию счётчиков, поэтому несоответствие делает покрытие невозможным. Формулировки:
- Необходимое условие для покрытия доминошками: число белых = число чёрных.
- Для произвольной фигуры на квадратной сетке точное условие существования покрытия сводится к существованию совершенного паросочетания в соответствующем двудольном графе (теорема Холла даёт критерий и алгоритм проверки).
4) Обобщения и замечания.
- Если удалить две клетки одного цвета с любой доски с ч/б раскраской, то покрытие доминошками невозможно (тот же аргумент).
- Удаление двух клеток разных цветов не гарантирует существование покрытия — это только устраняет цветовой простой препятствие; для окончательного решения нужно исследовать паросочетания (топологические препятствия, разбиение на компоненты и т.д.).
- На прямоугольной доске $m\times n$ существует простое достаточное условие: если хотя бы одно из $m,n$ чётно, то доску можно разрезать на доминошки (напр., колонки или строки). Если оба нечётны, то $mn$ нечётно и покрытие невозможно по простому счёту.
- Для других типов плиток (тромино, тетромино и т.п.) используют аналогичные идеи: раскраску по модулю $k$ или более сложные инварианты; для подсчёта числа покрытий применяют методы теории матриц/дименсиональных детерминантов (Kasteleyn) и комбинаторики графов.
Коротко: невозможность покрытия удалённой двух противоположных угловых клеток доказана раскраской: удаление двух одинаковых по раскраске клеток даёт несбалансированное число цветов, а каждая доминошка покрывает одну клетку каждого цвета.