Интеграл ${\int }_1^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ сходится условно (имеет конечный несобственный предел), но не сходится абсолютно.
Доказательство сходимости (по частям / признак Дирихле). Для $R>1$ положим $u=1/x,dv=\sin xdx$. Получаем
$${\int }_1^R\frac{\sin x}{x}dx=[-\frac{\cos x}{x}{]}_1^R-{\int }_1^R\frac{\cos x}{x^2}dx=-\frac{\cos R}{R}+\cos 1-{\int }_1^R\frac{\cos x}{x^2}dx.$$ При $R\to \infty$ первый член $-\frac{\cos R}{R}\to 0$, а интеграл ${\int }_1^{\infty }\frac{\cos x}{x^2}dx$ абсолютно сходится (так как $\frac{1}{x^2}$ интегрируема). Следовательно предел ${\lim }_{R\to \infty }{\int }_1^R\frac{\sin x}{x}dx$ существует.
Отсутствие абсолютной сходимости. Рассмотрим ${\int }_1^{\infty }\frac{|\sin x|}{x}dx$. На каждом отрезке $[n\pi ,(n+1)\pi ]$ выполняется ${\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }|\sin x|dx=2$, следовательно
$${\int }_1^{\infty }\frac{|\sin x|}{x}dx\ge \sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }\frac{|\sin x|}{x}dx\ge \sum _{n=1}^{\infty }\frac{2}{(n+1)\pi }=\infty ,$$ так что интеграл не сходится абсолютно.
Значение интеграла. Введя функцию синус-интеграла $\mathrm{Si}(x)={\int }_0^x\frac{\sin t}{t}dt$, имеем
$${\int }_1^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\mathrm{Si}(\infty )-\mathrm{Si}(1)=\frac{\pi }{2}-\mathrm{Si}(1)\approx \mathrm{0.624713.}$$
Смысл несобственного интеграла здесь — предел
$\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_1^R\frac{\sin x}{x}dx$, который существует, но интеграл не является (финитно) интегрируемым в смысле Лебега на $[1,\infty )$, поскольку требует абсолютной сходимости для Лебега.