Пусть $p(x)$ — многочлен степени $4$ с вещественными коэффициентами и $p(x)\ge 0$ при всех $x$. Обозначим старший коэффициент $a$. Тогда $a\ge 0$; если $a=0$, степень ниже 4 (тривиальный случай). Предположим $a>0$.
Общая факторизация над $\mathbb{R}$. В силу неотрицательности все вещественные корни имеют чётную кратность, а неприводимые над $\mathbb{R}$ квадратные множители (квадратичные трёхчлены) не имеют вещественных корней (их дискриминант отрицателен). Значит в общем виде
$$p(x)=a\prod _i(x-r_i{)}^{2m_i}\prod _j(x^2+b_{j}x+c_j{)}^{n_j},$$ где $m_i,n_j\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$, $\sum 2m_i+2\sum n_j=4$, $b_j^2-4c_j<0$, $a>0$.
Перечислим конкретные варианты для степени $4$:
1) Два различных вещественных двойных корня:
$$p(x)=a(x-r_1{)}^2(x-r_2{)}^2,r_1\ne r_2,a>0.$$
2) Один вещественный корень кратности $4$ (четверной):
$$p(x)=a(x-r{)}^4,a>0.$$
3) Один вещественный двойной корень и один неприводимый квадратичный множитель (нет вещественных корней):
$$p(x)=a(x-r{)}^2(x^2+bx+c),b^2-4c<0,a>0.$$
4) Два неприводимых квадратичных множителя (нет вещественных корней):
$$p(x)=a(x^2+bx+c)(x^2+dx+e),b^2-4c<0,d^2-4e<0,a>0.$$ (включая частный случай квадратов квадратичного трёхчлена:)
$$p(x)=a(x^2+bx+c{)}^2,b^2-4c\le 0,a>0.$$
Замечания о кратных корнях:
- Любой вещественный корень обязателен иметь чётную кратность (иначе при переходе через корень знак менялся бы и существовал $x$ с $p(x)<0$).
- Случай $b^2-4c=0$ для квадратичного множителя даёт раскладывание $x^2+bx+c=(x-r{)}^2$ и переводит случай (4) в случаи (1) или (2).
- Неприводимые квадратичные множители (с $b^2-4c<0$) гарантируют положительность множителя для всех $x$.
Дополнительно: любой такой многочлен можно привести к форме суммы квадратов двух квадратичных многочленов (сущеество представления как SOS), но для классификации выше это не требуется.
Таким образом все возможные формы описаны перечисленными случаями; ключевое требование — вещественные корни имеют чётную кратность, неприводимые квадратичные множители имеют отрицательный дискриминант, и старший коэффициент положителен.