Кратко: теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике с катетами $a,b$ и гипотенузой $c$ выполняется
$$a^2+b^2=c^2.$$
Доказательства (три разных подхода).
1) Геометрическое (перестановкой, наглядное)
- Постройте квадрат со стороной $a+b$. Внутри поместите четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами $a,b$ и гипотенузой $c$ так, чтобы они образовали по центру меньший квадрат со стороной $c$.
- Площадь большого квадрата равна площади четырёх треугольников плюс площадь центрального квадрата:
$$(a+b{)}^2=4\cdot \frac{ab}{2}+c^2.$$ - Упростим:
$$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\Rightarrow a^2+b^2=c^2.$$ Комментарий: очень наглядно — видно, как площади складываются.
2) Алгебраическое (координатный подход)
- Поместим прямоугольный треугольник в систему координат: вершины в точках $(0,0),(a,0),(0,b)$. Тогда катеты лежат на осях, а гипотенуза соединяет $(a,0)$ и $(0,b)$.
- Длина отрезка по формуле расстояния:
$$c^2=(a-0{)}^2+(0-b{)}^2=a^2+b^2.$$ Комментарий: минимально теоретичное, опирается на формулу расстояния и прямой угол (ортогональные оси).
3) Через подобие треугольников (классическое Евклидово доказательство)
- В прямоугольном треугольнике опустите высоту $h$ из прямого угла на гипотенузу $c$. Высота разбивает $c$ на отрезки $d$ и $e$, где $d+e=c$.
- Получаются три подобных треугольника: большой и два маленьких. Из подобия следует:
$$\frac{a}{c}=\frac{d}{a}\Rightarrow a^2=cd,$$ $$\frac{b}{c}=\frac{e}{b}\Rightarrow b^2=ce.$$ - Складывая:
$$a^2+b^2=c(d+e)=c\cdot c=c^2.$$ Комментарий: опирается на свойства подобия и соотношения сторон.
Краткое сравнение по интуитивности
- Геометрическое перестановочное доказательство — наиболее визуально и интуитивно: школьник видит, как площади складываются.
- Координатное (алгебраическое) доказательство — самое простое формально: прямой расчёт, удобно для тех, кто привык к аналитике.
- Доказательство через подобие — требует понимания подобия треугольников и сохраняет связь с классической геометрией; интуитивно чуть сложнее, но даёт глубокое объяснение причин явления (отношения отрезков на гипотенузе).
Итог: все три подхода приводят к одному и тому же равенству $a^2+b^2=c^2$, выбор доказательства зависит от предпочтений: для наглядности — перестановка, для быстроты — координаты, для внутреннего понимания структуры — подобие.