Утверждение истинно. Пусть $x_1,\dots ,x_n$ — произвольный набор чисел, $\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$ и положим $d_i=x_i-\bar{x}$. Определения:
$$\mathrm{RMS}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{d}_i^2},\mathrm{MAD}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n|d_i|.$$
Доказательство (через неравенство Коши—Шварца):
$$\mathrm{MAD}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n|d_i|=\frac{1}{n}⟨(|d_i|{)}_i,(1,\dots ,1)⟩\le \frac{1}{n}\Vert (|d_i|){\Vert }_2\cdot \Vert (1,\dots ,1){\Vert }_2=\frac{1}{n}\sqrt{\sum _i{d}_i^2}\sqrt{n}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _i{d}_i^2}=\mathrm{RMS}.$$ Следовательно $\mathrm{MAD}\le \mathrm{RMS}$.
Границы и условия равенства:
- Общая двухсторонняя оценка через нормы $l_1,l_2$:
$$\frac{\mathrm{RMS}}{\sqrt{n}}\le \mathrm{MAD}\le \mathrm{RMS},$$ поскольку для вектора $d$ справедливо $\Vert d{\Vert }_2\le \Vert d{\Vert }_1\le \sqrt{n}\Vert d{\Vert }_2$, а $\mathrm{RMS}=\frac{1}{\sqrt{n}}\Vert d{\Vert }_2,\mathrm{MAD}=\frac{1}{n}\Vert d{\Vert }_1$.
- Условие равенства $\mathrm{MAD}=\mathrm{RMS}$: равенство в Коши достигается тогда и только тогда, когда $|d_i|=$ const для всех $i$. Тогда либо все $d_i=0$ (все числа равны), либо ненулевые отклонения имеют одинаковую по модулю величину; из условия $\sum d_i=0$ это возможно (для конечной выборки) только если либо все нули, либо $n$ чётно и ровно $n/2$ отклонений равны $+r$ и $n/2$ — $-r$.
- Условие достижения нижней границы $\mathrm{MAD}=\mathrm{RMS}/\sqrt{n}$ требует $\Vert d{\Vert }_1=\Vert d{\Vert }_2$, т.е. не более одного ненулевого компонента — при сумме отклонений ноль это даёт только тривиальный случай $d_i\equiv 0$ (или вырожденные случаи $n=1$).
Аналогично для случайной величины $X$ имеем $\mathbb{E}|X-\mathbb{E}X|\le \sqrt{\mathbb{E}(X-\mathbb{E}X{)}^2}$ с теми же условиями равенства.