Ниже — несколько классических способов доказать теорему Пифагора и их краткое сравнение по наглядности, строгости и возможностям обобщения.
1) Разбиение / перестановка (Бхаскара и др.)
- Идея: четыре одинаковых прямоугольных треугольника со сторонами $a,b,c$ укладываются в квадрат со стороной $a+b$, оставляя внутри маленький квадрат со стороной $c$. Сравнивая площади,
$$(a+b{)}^2=4\cdot \frac{ab}{2}+c^2\Rightarrow c^2=a^2+b^2.$$ - Наглядность: очень высокая (визуально очевидно).
- Строгость: достаточна при аккуратном обосновании равенства площадей и соответствия фигур.
- Обобщение: слабое — чисто евклидический приём, не даёт естественного обобщения на пространства иной структуры.
2) Подобие треугольников (классическое доказательство Евклида)
- Идея: опустить высоту $h$ на гипотенузу; получаются два треугольника, подобные исходному. Из подобия
$$\frac{a}{c}=\frac{h}{a}\Rightarrow a^2=c\cdot d,\frac{b}{c}=\frac{h}{b}\Rightarrow b^2=c\cdot e,$$ где $d$ и $e$ — проекции катетов на гипотенузу, и $d+e=c$. Суммируя, получаем $a^2+b^2=c^2$.
- Наглядность: высокая (геометрическая схема + отношения).
- Строгость: высокая (основана на строгой теории подобия).
- Обобщение: среднее — метод опирается на подобие в евклидовой плоскости; концепция проекций полезна и в других контекстах.
3) Координатный / аналитический подход
- Поставим прямой угол в начале координат, катеты вдоль осей: вершины $(0,0),(a,0),(0,b)$. Расстояние между $(a,0)$ и $(0,b)$:
$$c^2=(a-0{)}^2+(0-b{)}^2=a^2+b^2.$$ - Наглядность: средняя (меньше рисунка, больше алгебры).
- Строгость: высокая (если принять формулу расстояния).
- Обобщение: хорошее — легко переносится в $n$-мерные евклидовы пространства.
4) Скалярное произведение / векторный подход
- Для перпендикулярных векторов $u$ и $v$ имеем $u\cdot v=0$. Тогда
$$\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+2u\cdot v+\Vert v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2,$$ что эквивалентно Пифагорову закону. Для треугольника взять $u,v$ вдоль катетов.
- Наглядность: средняя (абстрактнее, но компактно).
- Строгость: очень высокая (использует аксиомы внутреннего произведения).
- Обобщение: отличное — переносится в любые внутренне-скалярные пространства; основа для евклидовой геометрии в любых размерностях.
5) Закон косинусов (как частный случай)
- Закон косинусов даёт для стороны $c$ против угла $\gamma$:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma .$$ При $\gamma =90^{\circ }$ получаем $\cos \gamma =0$ и $c^2=a^2+b^2$.
- Наглядность: невысокая (формула уже аналитическая).
- Строгость: высокая (если закон косинусов уже доказан).
- Обобщение: среднее — показывает связь с тригонометрией и замещает теорему для произвольных углов.
6) Доказательство Гарфилда (площадь трапеции)
- Составляется трапеция из двух одинаковых прямоугольных треугольников; вычисление площади трапеции двумя способами приводит к $a^2+b^2=c^2$.
- Наглядность: высокая (геометрический подсчёт площадей).
- Строгость: достаточная при корректном уравнивании площадей.
- Обобщение: ограничено евклидовой плоскостью.
Краткое резюме по критериям
- Наглядность: разбиение/перестановка, подобие, доказательство Гарфилда — лучшие.
- Строгость: векторный/скалярный и подобие (Евклид) — самые формально строгие в рамках аксиоматической геометрии/линейной алгебры.
- Потенциал обобщения: векторный/скалярный и координатный подходы — лучшие, т.к. легко переходят в $n$-мерные и абстрактные внутренне-скалярные пространства; закон косинусов обобщается тригонометрически.
Выбор метода зависит от цели: для учебной интуиции — перестановка или подобие; для формальных обобщений и перехода к линейной алгебре — скалярное произведение/координатный подход.