Решение получают разделением переменных. Для начальных данных $y(t_0)=y_0$:
$${\int }_{y_0}^{y(t)}\frac{dy}{y^2}={\int }_{t_0}^{t}dt\Rightarrow -\frac{1}{y(t)}+\frac{1}{y_0}=t-t_0.$$ Отсюда явная формула
$$y(t)=\frac{1}{\frac{1}{y_0}-(t-t_0)}=\frac{y_0}{1-y_0(t-t_0)}.$$
Разрыв (взрыв, blow-up) происходит тогда, когда знаменатель обращается в ноль. Момент разрыва $T$ определяется из
$$\frac{1}{y_0}-(T-t_0)=0\Rightarrow T=t_0+\frac{1}{y_0}.$$
Следствия:
- Если $y_0>0$, то $T=t_0+1/y_0>t_0$: решение разрывается через конечное положительное время в будущем (при $t\to T^{-}$ имеем $y(t)\sim \frac{1}{T-t}$).
- Если $y_0=0$, то $y(t)\equiv 0$ для всех $t$ (нет разрыва).
- Если $y_0<0$, то $T<t_0$: разрыв в прошлом, а на полуоси $t>t_0$ решение существует глобально и стремится к $0^{-}$ при $t\to +\infty$.
Обобщение: для уравнения $y^{\prime }=f(y)$ критерий конечного разрыва — конечность интеграла ${\int }_{y_0}^{\infty }\frac{dy}{f(y)}$. Для $f(y)=y^2$ этот интеграл равен $1/y_0$, что согласуется с найденным моментом разрыва.