Кратко и по существу.
1) Критерий знакопеременных рядов (Лейбниц).
Если $b_n\ge 0$, $b_{n+1}\le b_n$ и ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=0$, то ряд
$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{b}_n$$ сходится. Оценка остатка: если $S={\sum }_{k=1}^{\infty }(-1{)}^{k-1}{b}_k$ и $S_n$ — частичная сумма, то
$$\left|S-S_n\right|\le b_{n+1},$$ и знак остатка совпадает со знаком следующего члена.
2) Абсолютная и условная сходимость — определения и свойства.
- Ряд $\sum a_n$ сходится абсолютно, если сходится ряд положительных чисел $\sum |a_n|$. Абсолютная сходимость влечёт сходимость самого ряда и даёт право на произвольную перестановку членов и на попарное умножение/суммирование, перестановки не меняют сумму.
- Ряд сходится условно, если $\sum a_n$ сходится, но $\sum |a_n|$ расходится. Для условно сходящихся рядов перестановки могут менять сумму (теорема Римана).
3) Другие критерии для знакопеременных и близких рядов.
- Критерий Дирихле: если частичные суммы $A_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$ ограничены по модулю и $b_n$ монотонно стремится к нулю, то ряд $\sum a_n{b}_n$ сходится.
- Критерий Абеля: если ряд $\sum a_n$ сходится и последовательность $b_n$ ограничена и монотонна, то ряд $\sum a_n{b}_n$ сходится. (Часто применяются вместе с преобразованием частичных сумм.)
4) Примеры.
- Альтернативный гармонический ряд (условная сходимость):
$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}=\ln 2,$$ но
∑n=1∞∣ ⁣(−1)n−11n∣=∑n=1∞1n=∞.\sum_{n=1}^\infty \left|\!(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=\infty.n=1∑∞ (−1)n−1n1 =n=1∑∞ n1 =∞. - Абсолютно сходящийся пример: геометрический ряд с чередованием, если $|r|<1$,
$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{r}^n=\frac{1}{1+r}$$ и $\sum |r{|}^n$ сходится.
- Ряд с синусом (Дирихле): ряд
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin n}{n}$$ сходится (частичные суммы ${\sum }_{k=1}^n\sin k$ ограничены), но не сходится абсолютно.
5) Практические последствия.
- Для вычислений: для знакопеременных рядов, удовлетворяющих условиям Лейбница, можно оценить ошибку усечения по первому отброшенному члену. Это удобно при численном суммировании.
- Для анализа: абсолютная сходимость даёт большие возможности (перестановки, замены порядка суммирования/интегрирования), условная сходимость требует осторожности — перестановки и формальные преобразования могут изменить сумму или нарушить сходимость.
- Для доказательств сходимости: критерии Дирихле и Абеля позволяют показать сходимость рядов с колеблющими множителями (например, $\sin n$, $(-1{)}^n$) даже когда модуль членов не убывает быстро.
Если нужно, могу показать подробные доказательства критериев или вычисления сумм приведённых примеров.