Утверждение неверно. Правильный критерий и где всё ломается:
1) Преобразование. Для положительных $a,b$ $$a^b>b^a⟺b\ln a>a\ln b⟺\frac{\ln a}{a}>\frac{\ln b}{b}.$$ Эквивалентно можно писать $a^b>b^a⟺a^{1/a}>b^{1/b}$.
2) Исследование функции. Пусть $f(x)=\frac{\ln x}{x}$. Тогда
$$f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$ Отсюда $f^{\prime }>0$ на $(0,e)$ и $f^{\prime }<0$ на $(e,\infty )$. Значит $f$ возрастает на $(0,e)$ и убывает на $(e,\infty )$ — она не монотонна на всём $(0,\infty )$.
3) Следствия и контрпримеры. Если оба числа меньше $e$ и $a>b$, то действительно $a^b>b^a$. Но если оба числа больше $e$, то при $a>b$ уже будет $a^b<b^a$. Примеры:
$$a=5,b=4:5^4=625,4^5=1024,\text{так что}{5}^4<4^5.$$ Равенство встречается тоже не только при $a=b$: например
$$a=4,b=2:4^2=2^4=16.$$
4) Где логика ломается. Частая ошибка — предполагать, что функция $x^{1/x}$ или $\frac{\ln x}{x}$ монотонна на всём $(0,\infty )$. Это неверно; из-за смены монотонности в точке $e$ порядок $a$ и $b$ сам по себе не определяет знак разности $a^b-b^a$.