Кратко — это теорема о мощности точки.
Формулировка.
- Для фиксированной окружности с центром $O$ и радиусом $R$ и для фиксированной точки $P$ вне/внутри/на окружности для любой прямой через $P$, пересекающей окружность в точках $X$ и $Y$, справедливо
$$PX\cdot PY=P{O}^2-R^2,$$ (при направленных отрезках знак может быть отрицательным). Это значение называется мощностью точки $P$ относительно окружности.
- В частном случае, когда из $P$ можно провести касательную к окружности в точке $T$, имеет место
$$P{T}^2=P{O}^2-R^2,$$ и тогда для любой секущей через $P$ с пересечениями $B,C$ выполняется
$$PB\cdot PC=P{T}^2.$$
Короткое доказательство (схема).
- Пусть из точки $P$ проведены касательная в $T$ и секущая, пересекающая окружность в $B$ и $C$. Углы между касательной и секущей равны соответственным вписанным углам (теорема о касательной и хорде), поэтому треугольники $PTB$ и $PCB$ подобны, откуда $PT/PB=PC/PT$, т.е.
$$P{T}^2=PB\cdot PC.$$ - Остальное следует от того, что $P{T}^2=P{O}^2-R^2$ (теорема через радиус и прямой, перпендикулярный касательной).
Как использовать.
- Если у вас фиксирована точка $P$ (например точка на касательной в $A$), то для всех секущих через $P$ произведение длин от $P$ до точек пересечения с окружностью постоянно и равно $P{T}^2$ (если $T$ — точка касания). Т. е. если известно одно пересечение или одно произведение, можно найти другое: $PB=\frac{P{T}^2}{PC}$.
- Частые применения: нахождение отрезков на пересекающих секущих; сравнение мощностей разных точек; доказательство коллинеарности/пересечения (радикальная ось — место точек с равными мощностями для двух окружностей); задачи с пересечениями хорд/касательных (замена сложной геометрии на арифметику с мощностями).
- Примеры: если $P$ лежит на касательной в $A$, то для любой секущей через $P$ с пересечениями $B,C$ имеем
$$PB\cdot PC=P{A}^2,$$ потому что $PA$ — касательная от $P$.
Этого достаточно, чтобы применять идею мощности точки во всех задачах с секущими и касательными.