Убывание — это движение от большего к меньшему. Например, последовательность идёт вниз, если её члены уменьшаются.
Определения:
- Последовательность невозрастающая: $\forall n{a}_{n+1}\le a_n$. Строго убывающая: $\forall n{a}_{n+1}<a_n$.
- Функция невозрастающая на множестве $I$: $\forall x_1,x_2\in I,x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)$. Строго убывающая: $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$.
Примеры:
- Последовательность $(5,4,3,\dots )$ — строго убывает.
- Функция $f(x)=-x$ убывает на $\mathbb{R}$.
Как проверить: для последовательности сравнивайте соседние члены; для дифференцируемой функции достаточно, чтобы производная была не положительна: $f^{\prime }(x)\le 0$ (невозрастание) или $f^{\prime }(x)<0$ (строгое убывание).