Краткое утверждение: в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются и делятся пополам (то есть имеют общий середины).
1) Координатное доказательство.
Поставим $A(0,0)$, $B(x_1,y_1)$, $D(x_2,y_2)$. Тогда по свойству параллелограмма
$C=B+D=(x_1+x_2,y_1+y_2)$.
Мидпоинт $AC$: $M_{AC}=(\frac{0+(x_1+x_2)}{2},\frac{0+(y_1+y_2)}{2})=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$.
Мидпоинт $BD$: $M_{BD}=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$.
Следовательно $M_{AC}=M_{BD}$ — диагонали пересекаются и делятся пополам.
2) Векторное доказательство.
Пусть позиции вершин заданы векторами $a,b,c,d$. Условие параллелограмма эквивалентно
$a+c=b+d$.
Мидпоинт $AC$ имеет вектор $\frac{a+c}{2}$, мидпоинт $BD$ — $\frac{b+d}{2}$. По условию эти векторы равны, значит середины совпадают. Альтернативно: уравнения отрезков дают пересечение при параметре $t=\frac{1}{2}$.
3) Геометрическое (синтетическое) доказательство.
Пусть диагонали пересекаются в $O$. Так как $AB\parallel CD$ и $AD\parallel BC$, то в треугольниках $△AOB$ и $△COD$ две пары углов равны (соответствующие при параллельных прямых). Значит треугольники подобны, и из подобия следует
$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}=\frac{AB}{CD}$.
Но в параллелограмме противоположные стороны равны: $AB=CD$, отсюда $\frac{AO}{CO}=1$ и $\frac{BO}{DO}=1$, т.е. $AO=CO$ и $BO=DO$. Следовательно диагонали делятся пополам.
Сравнение подходов (строгость и наглядность):
- Строгость: векторное и координатное доказательства прямолинейны и формальны (минимум геометрических лемм); синтетическое тоже строгое, но опирается на вспомогательное свойство $AB=CD$ (которое тоже нужно доказать или принять).
- Наглядность: синтетическое самое наглядное — видно из параллельности углов и симметрии; векторное даёт концептуальную ясность (особенно при работе с обобщениями), координатное — наглядно при вычислениях, но менее «геометрично».
- Обобщаемость: векторный метод лучше всего переносится в пространство и на более общие структуры; координатный — также хорошо обобщается; чисто плоскостное синтетическое доказательство специфично для евклидовой плоскости.
Вывод: выбор метода зависит от задач: для быстрых вычислений — координаты, для компактного формального рассуждения — векторный, для интуитивного понимания — синтетический.