Краткий ответ: общего элементарного решения нет. Уравнение приводится к линейному второму порядка и решается через специальные функции; поведение решений можно исследовать качественно и численно.
Детали.
1) Редукция к линейному уравнению. Подстановка $y=-\frac{u^{\prime }}{u}$ (стандартная для уравнений Риккати) даёт
$$-\frac{u^{\prime \prime }}{u}+(\frac{u^{\prime }}{u}{)}^2=(\frac{u^{\prime }}{u}{)}^2-x^2,$$ откуда
$$u^{\prime \prime }=x^{2}u.$$ Итак, если $u_1,u_2$ — базис решений уравнения $u^{\prime \prime }-x^{2}u=0$, то общее решение исходного уравнения задаётся как
$$y(x)=-\frac{C_1{u}_1^{\prime }(x)+C_2{u}_2^{\prime }(x)}{C_1{u}_1(x)+C_2{u}_2(x)}.$$
2) О выражении в элементарных функциях. Уравнение $u^{\prime \prime }=x^{2}u$ не решается в элементарных функциях; решения выражаются через специальные (парболические/вихревые) функции или через степенные ряды. Поэтому общее аналитическое решение $y(x)$ в элементарных терминах отсутствует, но оно задаётся через $u$ указанным выше образом.
3) Качественный анализ:
- Нули производной (изоклины нулевого наклона): $y^{\prime }=0⟺y^2=x^2⟺y=\pm x$. Эти прямые разделяют плоскость $(x,y)$ на области знака $y^{\prime }$: если $|y|>|x|$ то $y^{\prime }>0$, если $|y|<|x|$ то $y^{\prime }<0$.
- Возможность разрыва (взрыв в конечный момент): при больших $|y|$ доминирует член $y^2$, и поведение локально как $y^{\prime }\approx y^2$, что даёт разрыв типа полюса за конечный шаг по $x$. В представлении через $u$ такие взрывы соответствуют нулям знаменателя $C_1{u}_1+C_2{u}_2$ (полюсам $y$).
- Асимптотика при $|x|\to \infty$. Для уравнения $u^{\prime \prime }=x^{2}u$ имеются приближённые решения $u\sim x^{-1/2}{e}^{\pm x^2/2}$. Отсюда
$$y=-\frac{u^{\prime }}{u}\sim \mp x+\frac{1}{2x}+\dots$$ То есть решения $y(x)$ при больших $|x|$ стремятся к линиям $y\sim \pm x$ (в зависимости от выбранной комбинации фундаментальных решений); переходы между ветвями сопровождаются полюсами.
- Существование и единственность: по теореме Пикара–Линделёфа при любых начальных данных $y(x_0)=y_0$ существует и единственна локальная максимальная по области решения; она либо продолжается на всю ось, либо имеет разрыв (полюс) при конечном $x$.
4) Численные методы:
- Прямой интегратор для первого порядка: явные методы Рунге–Кутты (RK4) или адаптивные RK45 (Dormand–Prince) — стандартный выбор. Обратить внимание на контроль шага, т.к. при приближении к полюсу требуется уменьшать шаг и остановка при достижении большого $|y|$.
- Альтернатива через линейное уравнение: численно решить систему второго порядка для $u$,
$$u^{\prime \prime }=x^{2}u,$$ найти два фундаментальных решения $u_1,u_2$ и затем вычислять $y=-u^{\prime }/u$ для заданных коэффициентов $C_1,C_2$. При таком подходе важно следить за нулями $u$ (они дают полюсы $y$).
- Практические рекомендации: использовать адаптивный метод с оценкой ошибок, добавлять условие прекращения при $|y|>Y_{\text{max}}$ (детектирование взрыва), при необходимости выполнять интегрирование в обе стороны от начальной точки и использовать переменный шаг по величине производной.
Короткая резолюция: общее решение выразимо через решения уравнения $u^{\prime \prime }=x^{2}u$ и, следовательно, через специальные функции/ряды, но не через элементарные функции; качественно решения разделяются линиями $y=\pm x$, могут иметь полюсы в конечных $x$ и асимптотически ведут себя как $\pm x$. Для практического построения рекомендованы адаптивные РК-методы или численное решение соответствующего линейного уравнения и последующий расчёт $y=-u^{\prime }/u$.