Кратко — алгоритм и примеры. Алгоритм (вариант 1 — через неправильные дроби): 1) Каждый смешанный число abca\frac{b}{c}acb перевести в неправильную дробь: abc=ac+bca\frac{b}{c}=\frac{ac+b}{c}acb=cac+b. 2) Привести дроби к общему знаменателю и сложить/вычесть: например pq+rs=ps+rqqs\frac{p}{q}+\frac{r}{s}=\frac{ps+rq}{qs}qp+sr=qsps+rq (можно использовать НОК знаменателей для упрощения). 3) Полученную неправильную дробь mn\frac{m}{n}nm сократить (если возможно) и при необходимости вернуть в смешанный вид: mn=k+rn \frac{m}{n}=k+\frac{r}{n}nm=k+nr, где k=⌊mn⌋k=\left\lfloor\frac{m}{n}\right\rfloork=⌊nm⌋, r=m−knr=m-knr=m−kn. Алгоритм (вариант 2 — прямое сложение/вычитание частей): 1) Складываем/вычитаем целые части и дробные части отдельно. 2) Если при сложении дробная часть ≥1, вынести целую часть: например 1+ab=a+bb1+\frac{a}{b}=\frac{a+b}{b}1+ba=ba+b. 3) При вычитании, если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, занять 1 у целой части: (A−1)+(x+bb)−B−yb (A-1)+\left(\frac{x+b}{b}\right) - B - \frac{y}{b}(A−1)+(bx+b)−B−by. Примеры: Сложение: 234+1252\frac{3}{4}+1\frac{2}{5}243+152. 234=114, 125=752\frac{3}{4}=\frac{11}{4},\;1\frac{2}{5}=\frac{7}{5}243=411,152=57. Общий знаменатель 202020: 114=5520, 75=2820\frac{11}{4}=\frac{55}{20},\;\frac{7}{5}=\frac{28}{20}411=2055,57=2028. Сумма 5520+2820=8320=4320\frac{55}{20}+\frac{28}{20}=\frac{83}{20}=4\frac{3}{20}2055+2028=2083=4203. Вычитание (с займами): 514−3345\frac{1}{4}-3\frac{3}{4}541−343. Фракции: 14<34\frac{1}{4}<\frac{3}{4}41<43 — займём 1 от целой части: 514=4545\frac{1}{4}=4\frac{5}{4}541=445. Теперь 454−334=124=1124\frac{5}{4}-3\frac{3}{4}=1\frac{2}{4}=1\frac{1}{2}445−343=142=121. Проверка через неправильные дроби: 514=214, 334=1545\frac{1}{4}=\frac{21}{4},\;3\frac{3}{4}=\frac{15}{4}541=421,343=415. 214−154=64=112\frac{21}{4}-\frac{15}{4}=\frac{6}{4}=1\frac{1}{2}421−415=46=121. Замечания: - Всегда сокращайте конечную дробь. - Для удобства при больших числах используйте НОК знаменателей.
Алгоритм (вариант 1 — через неправильные дроби):
1) Каждый смешанный число abca\frac{b}{c}acb перевести в неправильную дробь: abc=ac+bca\frac{b}{c}=\frac{ac+b}{c}acb =cac+b .
2) Привести дроби к общему знаменателю и сложить/вычесть: например pq+rs=ps+rqqs\frac{p}{q}+\frac{r}{s}=\frac{ps+rq}{qs}qp +sr =qsps+rq (можно использовать НОК знаменателей для упрощения).
3) Полученную неправильную дробь mn\frac{m}{n}nm сократить (если возможно) и при необходимости вернуть в смешанный вид: mn=k+rn \frac{m}{n}=k+\frac{r}{n}nm =k+nr , где k=⌊mn⌋k=\left\lfloor\frac{m}{n}\right\rfloork=⌊nm ⌋, r=m−knr=m-knr=m−kn.
Алгоритм (вариант 2 — прямое сложение/вычитание частей):
1) Складываем/вычитаем целые части и дробные части отдельно.
2) Если при сложении дробная часть ≥1, вынести целую часть: например 1+ab=a+bb1+\frac{a}{b}=\frac{a+b}{b}1+ba =ba+b .
3) При вычитании, если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, занять 1 у целой части: (A−1)+(x+bb)−B−yb (A-1)+\left(\frac{x+b}{b}\right) - B - \frac{y}{b}(A−1)+(bx+b )−B−by .
Примеры:
Сложение:
234+1252\frac{3}{4}+1\frac{2}{5}243 +152 .
234=114, 125=752\frac{3}{4}=\frac{11}{4},\;1\frac{2}{5}=\frac{7}{5}243 =411 ,152 =57 .
Общий знаменатель 202020: 114=5520, 75=2820\frac{11}{4}=\frac{55}{20},\;\frac{7}{5}=\frac{28}{20}411 =2055 ,57 =2028 .
Сумма 5520+2820=8320=4320\frac{55}{20}+\frac{28}{20}=\frac{83}{20}=4\frac{3}{20}2055 +2028 =2083 =4203 .
Вычитание (с займами):
514−3345\frac{1}{4}-3\frac{3}{4}541 −343 .
Фракции: 14<34\frac{1}{4}<\frac{3}{4}41 <43 — займём 1 от целой части: 514=4545\frac{1}{4}=4\frac{5}{4}541 =445 .
Теперь 454−334=124=1124\frac{5}{4}-3\frac{3}{4}=1\frac{2}{4}=1\frac{1}{2}445 −343 =142 =121 .
Проверка через неправильные дроби:
514=214, 334=1545\frac{1}{4}=\frac{21}{4},\;3\frac{3}{4}=\frac{15}{4}541 =421 ,343 =415 .
214−154=64=112\frac{21}{4}-\frac{15}{4}=\frac{6}{4}=1\frac{1}{2}421 −415 =46 =121 .
Замечания:
- Всегда сокращайте конечную дробь.
- Для удобства при больших числах используйте НОК знаменателей.