Краткий критерий и практический метод
1) Сначала привести многочлен к примитивному виду (отделить content): для $f\in \mathbb{Z}[x]$ запишите $f=c\cdot g$, где $c=\gcd$ всех коэффициентов, а $g$ — примитивный (content $=1$). По лемме Гаусса $f$ неприводим над $\mathbb{Q}$ тогда и только тогда, когда $g$ неприводим в $\mathbb{Z}[x]$.
2) Два простых достаточных теста.
Eisenstein (Эйзенштейн):
- Условие: существует простое $p$ такое, что для $g(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_0$ $$p\nmid a_n,p\mid a_{n-1},\dots ,p\mid a_0,p^2\nmid a_0.$$ - Вывод: тогда $g$ (и значит $f$) неприводим над $\mathbb{Q}$.
- Примечание: можно применять к сдвигу $g(x+c)$ (обычно целому $c$), что сильно расширяет область применения.
Пример: для $g(x)=x^4+4x^3+6x^2+4x+2=(x+1{)}^4+1$ сдвигом назад получаем $x^4+1$. Для $g(x+1)$ выполняется критерий с $p=2$, значит $x^4+1$ неприводим над $\mathbb{Q}$.
Сведение по модулю (редукция по простому):
- Пусть $p$ — простое, не делящее старший коэффициент $a_n$. Рассмотрим редукцию $\bar{g}\in {\mathbb{F}}_p[x]$.
- Если $\bar{g}$ неприводим в ${\mathbb{F}}_p[x]$ и $\mathrm{deg}\bar{g}=\mathrm{deg}g$, то $g$ неприводим над $\mathbb{Q}$.
- Это достаточно (но не необходимо). Если $\bar{g}$ разложим, отнюдь не следует, что $g$ разложим.
Пример противоположный: $x^4+1$ неприводим над $\mathbb{Q}$, но по модулю $2$ даёт $(x+1{)}^4$ — полностью редуцированное; значит редукция может быть редуцируемой, хотя оригинал нет.
Сравнение тестов — когда применять:
- Eisenstein даёт конструктивное и однозначное доказательство невырожденности, но применим далеко не всегда. Сдвиги $x\mapsto x+c$ часто помогают.
- Редукция по модулю проще вычисляется: достаточно найти одно простое $p$ (не делящее старший коэффициент), при котором редукция неприводима в ${\mathbb{F}}_p[x]$ (для этого используют тесты на корни, факторизацию в поле или алгоритмические средства). Часто пробуют несколько простых $p$. Это практичный метод для вычислительной проверки.
- Оба теста являются достаточными, но не необходимыми: отсутствие подходящего $p$ для Эйзенштейна или того, что все редукции по пробным простым факторизуются, не доказывает, что многочлен приводим.
Алгоритмическая стратегия (рекомендация):
1. Удалить content (сделать примитивным).
2. Применить рациональный корень (для степеней 2,3 быстрый).
3. Попробовать критерий Эйзенштейна; если не сработал — пробовать сдвиги $x\mapsto x+c$ для небольших целых $c$.
4. Параллельно пробовать редукции по нескольким простым $p$ (обычно небольшие простые, не делящие старший коэффициент) и проверять неприводимость в ${\mathbb{F}}_p[x]$.
5. Если оба подхода не дали результата и степень велика, использовать алгоритмические методы (распознавание факторизации в $\mathbb{Q}[x]$, алгоритмы Берлекэмпа/Ливенштейна и т.д.).
Коротко: Эйзенштейн — мощный и строгий, но редко применим напрямую; редукция по модулю — гибкая и практичная (часто по компьютеру), но тоже не даёт необходимого условия. Оба вместе и с сдвигами покрывают большинство практических случаев.