Кратко перечислю подходы, дам рекомендации и окончательный ответ.
Подходы
- Графический анализ:
- Построить графики $y=2^x$ и $y=x^2$ и найти пересечения.
- Плюсы: быстрое интуитивное представление, видно число и приблизительное расположение корней.
- Минусы: нет строгого доказательства количества корней, точные значения не даёт.
- Аналитические оценки (рекомендуемый для школьной олимпиады):
- Для $x>0$ взять логарифм: $x\ln 2=2\ln x$ ⇔ $\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln 2}{2}$. Рассмотреть функцию $\psi (x)=\frac{\ln x}{x}$ на $(0,\infty )$: она возрастает на $(0,e)$ и убывает на $(e,\infty )$, поэтому уравнение имеет не более двух положительных корней; явно $x=2$ даёт $\psi (2)=\frac{\ln 2}{2}$, второй корень $x=4$.
- Для $x<0$ положим $y=-x>0$. Тогда уравнение $2^x=x^2$ превращается в $1=y^2{2}^y$. Функция $k(y)=y^2{2}^y$ возрастает на $(0,\infty )$, следовательно ровно один положительный $y$ и ровно один отрицательный $x=-y$.
- Можно дать более «аналитическое» выражение через функцию Ламберта: положив соответствующие преобразования, получаем
$$x=-\frac{2}{\ln 2}{W}_k(-\frac{\ln 2}{2})(k=0,-1)$$ для двух положительных решений и
$$x=-\frac{2}{\ln 2}{W}_0\left(\frac{\ln 2}{2}\right)$$ для отрицательного; это даёт те же численные значения.
- Плюсы: строгие выводы о числе корней и их точных свойствах; компактные доказательства (монотонность, ИТТ).
- Минусы: для явных десятичных значений нужен численный этап или Ламбертовы функции (обычно не требуется на олимпиаде).
- Численные методы:
- Бисекция, метод Ньютона, итерации для нахождения приближённых значений.
- Плюсы: быстро получать высокую точность.
- Минусы: требуют вычислений, дают приближённый (не всегда строгий) результат; для олимпиад используются только как вспомогательный этап.
Какой подход выбрать для школьной олимпиады и почему
- Выбирать аналитический обход (логарифмы + исследование функций/монотонности). Причины:
- Дает строгий краткий аргумент о количестве корней (важно на олимпиаде).
- Не требует вычислительных приборов; использует стандартные приёмы (взятие логарифма, изучение монотонности).
- Можно быстро показать, что положительных корней ровно два (через $\psi (x)=\frac{\ln x}{x}$) и что отрицательный корень ровно один (через монотонность $k(y)=y^2{2}^y$).
- Графика или численных методов достаточно для проверки/наблюдения, но доказательство лучше строить аналитически.
Окончательный ответ (корни)
- Три вещественных корня:
$$x\approx -0.7666647,x=2,x=4.$$ (При необходимости более точные приближения получают методом Ньютона или бисекции; аналитически можно записать через функцию Ламберта, как выше.)