Кратко — несколько независимых методов и результаты (для сторон $a=13,b=14,c=15$, полупериметр $s=\frac{a+b+c}{2}=21$, площадь $S$).
1) Площадь (основа для высот, $r$, $R$):
- Heron: $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84.$
2) Высоты $h_a,h_b,h_c$ (высота к сторонам $a,b,c$):
- Через площадь: $h_a=\frac{2S}{a},h_b=\frac{2S}{b},h_c=\frac{2S}{c}$.
Подставляя: $h_a=\frac{168}{13}\approx 12.9231,h_b=\frac{168}{14}=12,h_c=\frac{168}{15}=\mathrm{11.2.}$ - Тригонометрически: найти угол по косинусам, например $\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, затем $h_c=a\sin \beta =b\sin \alpha$. (требует вычисления $\cos$ и $\sin$).
- Координатный метод: положить $A(0,0),B(c,0)$, найти координату третьей вершины $x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c},y=\sqrt{b^2-x^2}$; тогда высота на $c$ равна $y$. (даёт тот же $h_c=11.2$).
3) Медианы $m_a,m_b,m_c$ (медиана к $a,b,c$):
- Прямая формула: $m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$ (аналогично для других).
Значения:
$m_a=\frac{\sqrt{673}}{2}\approx 12.9711,m_b=\frac{\sqrt{592}}{2}\approx 12.1655,m_c=\frac{\sqrt{505}}{2}\approx \mathrm{11.2361.}$ - Альтернативно — теорема Стюарта или координатный метод: найти середину стороны и расстояние до вершины.
4) Радиусы:
- Вписанный радиус: $r=\frac{S}{s}=\frac{84}{21}=4.$ - Описанный радиус: $R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{2730}{336}=\frac{455}{56}=\frac{65}{8}=\mathrm{8.125.}$ - Тригонометрическая формула: $R=\frac{a}{2\sin \alpha }$ — требует вычисления угла.
5) Сравнение методов: трудоёмкость и устойчивость
- Heron + $h=\frac{2S}{\text{сторона}}$, $r=\frac{S}{s}$, $R=\frac{abc}{4S}$:
- Трудоёмкость: низкая (одна корень для $S$, несколько умножений/делений).
- Устойчивость: хорошая для некритических треугольников; при почти вырожденных треугольниках Heron может страдать из‑за вычитаний в подкоренном выражении.
- Косинус/синус (тригонометрия):
- Трудоёмкость: средняя (вычисление косинусов/синусов, возможны преобразования).
- Устойчивость: хуже при близких по величине больших сторонах (возможны потери точности при вычитаниях); удобна, если нужны углы.
- Координатный метод:
- Трудоёмкость: средняя (решение системы, корень для координаты).
- Устойчивость: хорошая, наглядная; чувствительность зависит от масштабирования координат.
- Формулы для медиан/Стюарт:
- Трудоёмкость: низкая (квадраты и один корень).
- Устойчивость: обычно хорошая, но также могут быть вычитания больших чисел при почти вырожденных треугольниках.
Рекомендация: для данного треугольника (все числа небольшие, благочисленные) наиболее просты и надёжны — Heron для площади, затем высоты через $h=\frac{2S}{a}$, $r=\frac{S}{s}$, $R=\frac{abc}{4S}$; медианы — по формуле $m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$.