Пусть вершины заданы в порядке обхода: $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)$.
1) Треугольное разбиение (через диагональ $AC$):
Area=12(∣(B−A)×(C−A)∣+∣(C−A)×(D−A)∣), \text{Area}=\frac12\Bigl(\bigl| (B-A)\times(C-A)\bigr|+\bigl| (C-A)\times(D-A)\bigr|\Bigr),
Area=21 ( (B−A)×(C−A) + (C−A)×(D−A) ), где в координатах
Area=12(∣(x2−x1)(y3−y1)−(y2−y1)(x3−x1)∣+∣(x3−x1)(y4−y1)−(y3−y1)(x4−x1)∣). \text{Area}=\frac12\Bigl(\bigl|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)\bigr|
+\bigl|(x_3-x_1)(y_4-y_1)-(y_3-y_1)(x_4-x_1)\bigr|\Bigr).
Area=21 ( (x2 −x1 )(y3 −y1 )−(y2 −y1 )(x3 −x1 ) + (x3 −x1 )(y4 −y1 )−(y3 −y1 )(x4 −x1 ) ).
2) Векторное произведение / формула Гаусса (shoelace):
Area=12∣x1y2+x2y3+x3y4+x4y1−(y1x2+y2x3+y3x4+y4x1)∣. \text{Area}=\frac12\Bigl|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_4+x_4y_1-(y_1x_2+y_2x_3+y_3x_4+y_4x_1)\Bigr|.
Area=21 x1 y2 +x2 y3 +x3 y4 +x4 y1 −(y1 x2 +y2 x3 +y3 x4 +y4 x1 ) .
Комментарий про тупой угол: если один из внутренних углов тупой (то есть $90^{\circ }<\angle <180^{\circ }$), квадрал остаётся выпуклым и обе формулы работают без изменений. Главное — вершины должны идти в порядке обхода (по часовой или против); при необходимости берите абсолютное значение результата. Если же фигура невыпуклая (есть рефлексный угол $>180^{\circ }$), shoelace всё ещё даёт корректную модульную площадь (при правильном порядке вершин), а при разбиении треугольниками нужно выбирать диагональ, лежащую внутри многоугольника — иначе сумма модулей площадей треугольников даст неверный результат.
Рекомендация: для вычисления площади по координатам предпочтительна формула shoelace (векторное произведение) — она короче, не требует выбора диагонали и устойчива для выпуклых и (при правильном порядке вершин) невыпуклых многоугольников. Треугольное разбиение удобно, если нужно отдельные площади треугольников или есть геометрические соображения о диагонали.