Ниже кратко перечислены основные критерии сходимости рядов с пояснениями и простыми примерами; затем — объяснение абсолютной и условной сходимости и пример серии, где разные (частично применимые) критерии новичка могут казаться противоречивыми.
Критерии (кратко)
- Необходимое условие: если ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ сходится, то ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$. Пример: для $a_n=\frac{1}{n}$ условие не выполнено — ряд расходится? (здесь $\lim a_n=0$, но это лишь необходимое условие).
- Критерий сравнения (прямое сравнение): если $0\le a_n\le b_n$ и $\sum b_n$ сходится, то $\sum a_n$ сходится; если $0\le b_n\le a_n$ и $\sum b_n$ расходится, то $\sum a_n$ расходится. Пример: $\sum \frac{1}{n^2}$ сходится, следовательно любой $a_n\le C/n^2$ с $C$ — сходящ.
- Предельный критерий сравнения: если $a_n,b_n>0$ и ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}=L$ с $0<L<\infty$, то ряды одновременно сходятся или расходятся. Пример: $a_n=\frac{n+1}{n^3}$, сравнить с $b_n=\frac{1}{n^2}$.
- Рациональный (д-Л'Опиталя) / критерий Даламбера (ratio test): если lim⁡n→∞∣an+1an∣=L\lim_{n\to\infty}\left|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=Llimn→∞ an an+1 =L, то при $L<1$ ряд абсолютно сходится, при $L>1$ расходится, при $L=1$ неинформативен. Пример: геометрический ряд — работает.
- Критерий Коши (root test): если ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}=L$, аналогично ratio-тесту. Часто используются вместе.
- Интегральный критерий: для непотр. убывающей $f(x)\ge 0$ с $a_n=f(n)$ ряд $\sum a_n$ и интеграл ${\int }_1^{\infty }f(x)dx$ одновременно сходятся или расходятся. Пример: $f(x)=1/x^p$ даёт p‑ряд.
- Признак Лейбница (альтернир. ряды): если $a_n\ge 0$, монотонно убывает к нулю и рассматриваем $\sum (-1{)}^n{a}_n$, то ряд сходится. Пример: $\sum (-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится (альтернативно), но не абсолютно.
- Критерий Дирихле: если частичные суммы $A_N={\sum }_{n=1}^N{b}_n$ ограничены и $a_n$ монотонно убывают к нулю, то $\sum a_n{b}_n$ сходится. Пример: $\sum \frac{\sin n}{n}$ (так как частичные суммы ${\sum }_{k=1}^N\sin k$ ограничены).
- Критерий Абеля (аналогично Дирихле, для сумм с весом).
Абсолютная и условная сходимость
- Абсолютная сходимость: ряд $\sum a_n$ абсолютно сходится, если $\sum |a_n|$ сходится. Абсолютная сходимость влечёт обычную сходимость.
- Условная сходимость: $\sum a_n$ сходится, но $\sum |a_n|$ расходится.
Примеры и почему это важно
- Абсолютно сходящийся пример: геометрический ряд $\sum r^n$ при $|r|<1$ — и $\sum |r{|}^n$ сходится.
- Условно сходящийся пример: альтернативный гармонический ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Лейбница, но ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ расходится, поэтому сходимость условная. Это важно, т.к. для условно сходящихся рядов перестановки членов могут менять сумму (Риманова теорема о перестановках), а для абсолютно сходящихся — нет.
- Практическая важность: некоторые критерии (ratio, root) проверяют абсолютную сходимость; если они дают "неопределённо" (предел =1), нужно применить другие тесты. Также нельзя заменять знакочередование на абсолютную величину без проверки.
Серия, вводящая новичка в заблуждение (частично применимые критерии противоречат)
1) Ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}$.
- Применение ratio/root: lim⁡∣an+1an∣=1\lim \left|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1lim an an+1 =1, $\lim \sqrt[n]{|a_n|}=1$ → оба теста неинформативны.
- Применение сравнения по модулю с $\frac{1}{n}$: показывает, что $\sum |a_n|=\sum \frac{1}{n}$ расходится, значит нет абсолютной сходимости.
- Применение признака Лейбница: $1/n$ монотонно убывает к 0, значит ряд сходится. Получаем: некоторые тесты (ratio/root) ничего не дают, сравнение по модулю даёт «расходится абсолютно», а Лейбниц — «сходится». Это не противоречие: ряд сходится условно.
2) Более тонкий и вводящий в заблуждение пример: ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin n}{n}$.
- Рацио/корень: неинформативны.
- Невозможно применить признак Лейбница (знаки не чередуются регулярно).
- Сравнение абсолютного ряда с $\sum \frac{1}{n}$ показывает, что $\sum |\sin n|/n$ ведёт к расходимости по «в среднем» (точная аргументация требует более глубоких средств), т. е. абсолютная сходимость отсутствует.
- Но критерий Дирихле применим: частичные суммы ${\sum }_{k=1}^N\sin k$ ограничены, а $1/n$ убывает к 0, следовательно $\sum \frac{\sin n}{n}$ сходится (условно). Новичок, не знающий Дирихле, может увидеть: ratio/root — ничего, сравнение по модулю — расходится, не видя почему ряд всё же сходится.
Короткие выводы
- Всегда проверяйте сначала: (i) $\lim a_n=0$; (ii) попробуйте простые тесты (сравнение, p‑ряд, Лейбниц для альтернирующих); (iii) если ratio/root дают 1, переходите к интегральному, Дирихле/Абелю или более тонким средствам.
- Различие абсолютной и условной сходимости важно для перестановок и применения некоторых тестов: ratio/root обычно решают задачу абсолютной сходимости, а признак Лейбница/Дирихле — условной.
Если нужно, могу подробно разобрать любой из приведённых примеров: провести точные оценки, доказать ограниченность частичных сумм ${\sum }_{k=1}^N\sin k$ и строго показать применение критерия Дирихле.