Ошибка — в круговой логике и в пропуске константы интегрирования. Конкретнее: автор сначала предполагает тождество $\ln (e^x)=x$, затем дифференцирует и получает $1=1$, после чего делает вывод о линейности $\ln (e^x)$. Это либо круговой аргумент (используется то, что нужно доказать), либо неверный вывод из факта $1=1$.
Правильное рассуждение без предположений:
- Пусть $f(x)=\ln (e^x)$. По правилу цепочки
$$f^{\prime }(x)=\frac{(e^x{)}^{\prime }}{e^x}=\frac{e^x}{e^x}=1.$$ - Отсюда $f(x)=x+C$ для некоторой константы $C$. Чтобы найти $C$, подставим $x=0$:
$$f(0)=\ln (e^0)=\ln 1=0,$$ значит $0=0+C\Rightarrow C=0$. Следовательно $f(x)=x$, т.е. $\ln (e^x)=x$ (для всех $x\in \mathbb{R}$).
Нужные замечания о областях определения и свойствах логарифма:
- $\ln (e^x)=x$ верно для всех $x\in \mathbb{R}$ (так как $e^x>0$).
- $e^{\ln x}=x$ верно только для $x>0$ (логарифм определён на $(0,\infty )$).
- Общие свойства: для $a,b>0$ $$\ln (ab)=\ln a+\ln b,\ln (a^r)=r\ln a(\text{для}r\in \mathbb{R}).$$ - Производная: для $x>0$ $$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},\frac{d}{dx}\ln (g(x))=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}\text{при}g(x)>0.$$