Кратко обозначим: в прямоугольном треугольнике катеты $a,b$, гипотенуза $c$.
1) Доказательство через подобие треугольников (классическое)
- Проведём высоту из прямого угла на гипотенузу; она делит гипотенузу на отрезки $d$ и $e$ (так что $d+e=c$).
- Получаем три подобных треугольника: большой и два малых. Из подобия, например, для треугольников $ABC$ и $ACD$:
$$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow \frac{b}{c}=\frac{d}{b}\Rightarrow b^2=cd.$$ Аналогично $a^2=ce.$ - Складывая: $$a^2+b^2=c(d+e)=c\cdot c=c^2,$$ что даёт $a^2+b^2=c^2$.
2) Доказательство через разложение площади (перестановка)
- Построим квадрат со стороной $a+b$ и поместим в него четыре одинаковых прямоугольных треугольника (катеты $a,b$, гипотенуза $c$), так что в центре остаётся квадрат со стороной $c$.
- Площадь большого квадрата равна сумме площадей четырёх треугольников и центрального квадрата:
$$(a+b{)}^2=4\cdot \frac{ab}{2}+c^2.$$ - Упростив: $$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\Rightarrow a^2+b^2=c^2.$$
Сравнение для школьников — преимущества и ограничения
- Понятность и наглядность:
- Разложение площади: очень визуально и легко демонстрируется бумажной моделью или анимацией; хорошо воспринимается в 6–8 классах. Ограничение — для некоторых учеников «картинка» выглядит как интуитивный аргумент и требует пояснения, почему центральная фигура действительно квадрат и почему площади складываются.
- Подобие: менее наглядно, требует понимания понятия подобия и пропорций; для старших классов даёт более строгую логику и развивает навыки рассуждения.
- Требуемые предварительные знания:
- Разложение: нужно знать формулу площади квадрата и треугольника и понятие аддитивности площади.
- Подобие: нужно уметь работать с подобными треугольниками и пропорциями, знать свойства высоты в прямоугольном треугольнике.
- Строгость и общая польза:
- Подобие даёт более «алгебраическое» и формально строгие выводы, легко обобщается на теоремы о сегментах гипотенузы, применяется в задачах на отношения отрезков.
- Разложение даёт хорошую интуицию и запоминающийся образ, но иногда воспринимается как «доказательство картинкой», если не формализовать шаги.
Рекомендация педагогам: для начального знакомства и мотивации показать разложение площади (демонстрация/аппликация), затем ввести доказательство через подобие для строгого обоснования и расширения математических навыков.