Решение и метод для учащихся.
1) Дискриминант: $\Delta =(2m+1{)}^2-4m^2=4m+1$. Для целых корней нужно, чтобы $\Delta$ было квадратом целого, т.е. существовало целое $k$ такое, что
$4m+1=k^2$.
Тогда $m=\frac{k^2-1}{4}$. Так как правая часть целая лишь при нечетном $k$, положим $k=2t+1$. Получаем
$m=t(t+1)$, $t\in \mathbb{Z}$.
2) Корни при этом выражаются как
$$x=\frac{2m+1\pm \sqrt{4m+1}}{2}.$$ Подставляя $m=t(t+1)$ и $\sqrt{4m+1}=2t+1$, получаем корни
$$x=t^2,x=(t+1{)}^2,$$ то есть два соседних квадратa целых чисел.
3) Обратное: если корни целые $a,b$, то по Виету $a+b=2m+1,ab=m^2$. Из этого следует (после приведения) $(a-b{)}^2=2(a+b)-1$, что приводит к предыдущей параметризации и к $m=t(t+1)$.
Ответ: корни целые тогда и только тогда, когда
$$m=t(t+1)(t\in \mathbb{Z}),$$ при этом корни равны $t^2$ и $(t+1{)}^2$.
Короткий метод для учащихся: проверить, что $4m+1$ — полный квадрат; если $4m+1=(2t+1{)}^2$, то $m=t(t+1)$ и корни — $t^2$ и $(t+1{)}^2$.