Кратко: для вещественного $x$ всегда верно
$\sqrt{x^2}=|x|$.
Только если заранее известно, что $x\ge 0$, можно заменить $\sqrt{x^2}$ на $x$; если известно, что $x\le 0$, — на $-x$.
Где замена $\sqrt{x^2}=x$ безопасна:
- Когда в условии явно задано $x\ge 0$ (или вы уже вывели эту неравенство). Тогда $\sqrt{x^2}=x$ даёт корректный результат.
- Для числовой подстановки, если подставляемое значение неотрицательно.
Где замена $\sqrt{x^2}=x$ приводит к ошибке (нужна $|x|$):
1) Решение уравнений/неравенств:
- Уравнение $\sqrt{x^2}=-x$. Правильно: $|x|=-x\Rightarrow x\le 0$. Ошибка при $\sqrt{x^2}=x$: из $x=-x$ получим только $x=0$, пропустив все $x<0$.
- Неравенство $\sqrt{x^2}<1$ правильно эквивалентно $|x|<1\Rightarrow -1<x<1$. Подстановка $\sqrt{x^2}=x$ даёт неверный набор решений.
2) Интегралы и первообразные:
$\int \sqrt{x^2}dx=\int |x|dx=\frac{x|x|}{2}+C.$ Если брать $\sqrt{x^2}=x$ всегда, получите $\frac{x^2}{2}+C$, что неверно на отрицательной полуоси (например ${\int }_{-1}^1\sqrt{x^2}dx=1$, а не $0$).
3) Производные:
$\frac{d}{dx}\sqrt{x^2}=\frac{d}{dx}|x|=\frac{x}{|x|}$ для $x\ne 0$ (т. е. $1$ при $x>0$ и $-1$ при $x<0$). Замена на $x$ даёт производную $1$ и ошибку при $x<0$.
4) Комплексные значения:
Для комплексного $z$ утверждение $\sqrt{z^2}=z$ не является общим: корень многозначен и зависит от выбранной ветви. Нельзя заменять $\sqrt{z^2}$ на $z$ без дополнительной информации.
Резюме: по умолчанию используйте $\sqrt{x^2}=|x|$. Меняйте на $x$ лишь когда знак $x$ однозначно известен (или при работе в контексте, где отрицательные значения исключены).