Ошибка — в скрытом делении на ноль при сокращении множителя. Корректное рассуждение:
1) Перепишем и разложим:
$$(a-b{)}^2=a^2-b^2⟺(a-b{)}^2=(a-b)(a+b).$$
2) Вынесем общий множитель:
$$(a-b{)}^2-(a-b)(a+b)=0⟺(a-b)((a-b)-(a+b))=0.$$ Упростим скобку:
$$(a-b)(-2b)=0⟺2b(a-b)=0.$$
3) Отсюда следует
$$b=0\text{или}a-b=0(\text{т.е.}a=b).$$ Таким образом правильный вывод: либо $a=b$, либо $b=0$. Утверждение «из $(a-b{)}^2=a^2-b^2$ следует $a=b$» неполно и неверно, потому что пропускает случай $b=0$.
Типичные ловушки для студентов:
- Сокращение на $(a-b)$ без проверки: если $a=b$, то $(a-b)=0$ и делить на него запрещено.
- Взятие квадратного корня без учета знака: из $(a-b{)}^2=(a-b)(a+b)$ нельзя просто писать $a-b=a+b$ — нужно учитывать возможность нулевого множителя и знак при извлечении корня.
- Ошибка ожидать, что равенство верно для всех $a,b$; это не тождество, а уравнение с решениями.
Примеры:
- $a=2,b=0$: $(2-0{)}^2=4$ и $2^2-0^2=4$, но $a\ne b$ (выполняется случай $b=0$).
- $a=1,b=1$: обе части равны нулю ($a=b$).