Коротко — школьник подменил одно выражение другим, которое не тождественно равно. Подробно и по шагам.
Ошибка
- Он подставил $\sin (2x)=2\sin x$. Но верная тождественность такова: $\sin (2x)=2\sin x\cos x$. Выражения $2\sin x\cos x$ и $2\sin x$ равны не для всех $x$ (например, при $x=\pi /4$: $\sin (2x)=1$, а $2\sin x=\sqrt{2}$). Подмена неравнозначна — уравнение меняется.
Правильный подход к тождественным преобразованиям и уравнениям
1. Можно подставлять равенства только если это тождество (равно для всех допустимых $x$). Иначе вы получите другое уравнение.
2. При приведении к произведению и при делении на выражение всегда отдельно рассматривать случай, когда этот множитель равен нулю (иначе вы теряете корни). При возведении в квадрат проверять на привнесённые (посторонние) корни.
3. После получения решений подставлять их в исходное уравнение и проверять.
Примеры применения
- Если исходно было действительно $\sin (2x)=2\sin x\cos x$, то это тождество, следовательно решение: все $x$.
- Если же нужно решить $\sin (2x)=2\sin x$, то корректно:
$$2\sin x\cos x=2\sin x\Rightarrow 2\sin x(\cos x-1)=0.$$ Рассматриваем случаи:
$\sin x=0\Rightarrow x=k\pi$, или $\cos x=1\Rightarrow x=2k\pi$. В итоге множество решений $x=k\pi$ (подстановкой убеждаемся, что все эти $x$ удовлетворяют исходному уравнению).
Резюме: нельзя ставить $2\sin x$ вместо $2\sin x\cos x$. При преобразованиях учитывать случаи нулевых множителей и всегда проверять найденные корни в исходном уравнении.