Теорема Ролля: если функция $f$ непрерывна на $[a,b]$, дифференцируема на $(a,b)$ и $f(a)=f(b)$, то существует $c\in (a,b)$ такой, что $f^{\prime }(c)=0$.
Анализ условий:
- Непрерывность на $[a,b]$ нужна, чтобы $f$ достигала максимум и минимум на отрезке (теорема Вейерштрасса).
- Дифференцируемость на $(a,b)$ нужна, чтобы при наличии внутреннего экстремума применить теорему Ферма: если $f$ имеет экстремум в точке и дифференцируема там, то $f^{\prime }(c)=0$.
Если дифференцируемость нарушается в точке внутреннего экстремума, утверждение ролля может не выполняться.
Примеры (непрерывно на $[a,b]$, $f(a)=f(b)$, но нет точки с нулевым производным из‑за недифференцируемости):
1) $f(x)=|x|$ на $[-1,1]$.
- $f$ непрерывна на $[-1,1]$ и $f(-1)=f(1)=1$.
- Для $x<0$ имеем $f^{\prime }(x)=-1$, для $x>0$ — $f^{\prime }(x)=1$; в нуле производная не существует.
- Нет ни одной точки $c\in (-1,1)$ с $f^{\prime }(c)=0$. Это нарушает заключение Ролля, потому что условие дифференцируемости на всём $(a,b)$ не выполнено.
2) Общая семья: $f(x)=|x{|}^{\alpha }$ на $[-1,1]$ при $0<\alpha \le 1$ (включая $\alpha =1$).
- $f$ непрерывна, $f(-1)=f(1)=1$.
- Для $0<\alpha <1$ производная на $x>0$ равна $\alpha x^{\alpha -1}>0$, на $x<0$ — отрицательна; в нуле производная не существует. Следовательно, снова нет $c$ с $f^{\prime }(c)=0$.
Краткое пояснение причины: если единственный внутренний экстремум находится в точке, где $f$ не дифференцируема (угол, cusp), теорема Ферма неприменима, и нулевого значения производной теорема Ролля не гарантирует — именно это демонстрируют приведённые примеры.