Кратко о задаче: всего шаров $N=5+4+3=12$, красных $R=5$, ненужных (синих+зелёных) $7$.
Как замена (с возвращением) меняет расчёты и стратегию — ключевые моменты
- Независимость. При возврате каждый отдельный вытяг имеет одинаковое распределение: вероятность красного $p=\frac{5}{12}$ для любой попытки. Последующие события не меняют шансы.
- Без возврата — зависимость/истощение. Состав мешка меняется, вероятность красного на следующем шаге зависит от того, что вытянуто ранее (гипергеометрическое распределение).
- Для игры «побеждает тот, кто первым вытянет красный»:
- с возвратом: шансы первого игрока вычисляются как сумма геометрической прогрессии (он пытается на ходах $1,3,5,\dots$ независимо):
$$P_1=\sum _{k=0}^{\infty }(1-p{)}^{2k}p=\frac{p}{1-(1-p{)}^2}=\frac{1}{2-p},$$ при $p=\frac{5}{12}$ получаем
$$P_1=\frac{1}{2-\frac{5}{12}}=\frac{12}{19}\approx 0,6316.$$ - без возврата: первый красный может появиться на позициях $1,3,5,7$ (больше нельзя, т.к. ненужных только 7). Вероятность для позиции $k$ (первые $k-1$ — ненужные, $k$-й — красный) равна
$$\prod _{i=0}^{k-2}\frac{7-i}{12-i}\cdot \frac{5}{12-(k-1)}.$$ Сумма по нечётным $k\in \{1,3,5,7\}$ даёт (посчитано):
$$P_1=\frac{62}{99}\approx 0,6263.$$ Разница невелика, но видно: с возвратом первый игрок чуть сильнее ($\frac{12}{19}$ против $\frac{62}{99}$).
Дополнительные полезные факты
- Среднее число вытягиваний до первого красного:
- с возвратом $\mathbb{E}=\frac{1}{p}=\frac{12}{5}=2,4$.
- без возврата существует общее правило для случайного упорядочения: математическое ожидание позиции первого красного равно $\frac{N+1}{R+1}=\frac{13}{6}\approx 2,1667$.
- Стратегия: если у игроков нет выбора (просто по очереди тянут), то «стратегии» нет — единственное различие в шансах задаётся заменой. Если игрокам разрешено выбирать (например, «тянуть» или «пропустить», или менять состав мешка), то с возвратом обычно выгоднее ждать меньше (поскольку шансы стабильны), а без возврата преимущество у тех, кто управляет порядком ходов/первым ходом из‑за истощения ресурсов.
Задания разной сложности
Лёгкие
1) Один вытягивает один шар с возвратом. Найти вероятность красного. (Ответ: $\frac{5}{12}$.)
2) Два независимых вытягивания с возвратом — найти вероятность, что оба красные. (Ответ: ${\left(\frac{5}{12}\right)}^2$.)
Средние
3) Два независимых вытягивания без возврата — вероятность, что оба красные. (Ответ: $\frac{5}{12}\cdot \frac{4}{11}=\frac{20}{132}=\frac{5}{33}$.)
4) Игра «первый, кто вытянет красный» при возврате: найти шансы второго игрока. (Подсказка: $P_2=1-P_1$. Ответ: $1-\frac{12}{19}=\frac{7}{19}$.)
5) Аналог для без возврата: вычислить $P_1$ (подсказка: просуммировать вероятности для позиций $1,3,5,7$). (Ответ: $\frac{62}{99}$.)
Сложные
6) Игра: по очереди тянут до тех пор, пока не извлекут в сумме $m$ шаров; выигрывает, кто вынес больше красных. Сравнить стратегии/вероятности с возвратом и без. (Задача: записать распределение числа красных у каждого игрока; с возвратом — биномиальное, без — гипергеометрическое; сравнить по параметрам.)
7) Игрок может в свой ход либо тянуть 1 шар, либо тянуть 2 подряд (без возврата в рамках хода). Как это повлияет на стратегию при цели «вытянуть красный»? (Задача: проанализировать для с/без возврата; подсказка — посчитать шансы получить хотя бы один красный за ход в каждом варианте и сравнить выгодность хода.)
8) Покажите общее выражение для вероятности, что первый игрок выиграет без возврата, при общем $N$ шаров, $R$ красных (формула через суммы произведений аналогична приведённой выше).
Если нужно, могу прислать разбор решений для заданий 5–8 шаг за шагом.