Критерии корректности результата
- Степень и старший коэффициент: степень произведения множителей равна степени $p(x)$; произведение старших коэффициентов множителей равно старшему коэффициенту $p$.
(проверка: если множители $f_i(x)$, то степень $\sum \mathrm{deg}{f}_i=\mathrm{deg}p$, а старший коэффициент $\prod \text{lead}(f_i)=\text{lead}(p)$.)
- Окончание деления (теорема об остатке): если среди множителей есть $(x-r)$, то остаток при делении $p$ на $x-r$ должен быть нулём, то есть $p(r)=0$.
- Совпадение коэффициентов: после перемножения предложенных множителей должно получаться многочлен с теми же коэффициентами, что и $p(x)$. Практически проверяют разностный вектор коэффициентов $\Delta (x)=p(x)-\prod f_i(x)$ — он должен быть нулевым (или малым при численных вычислениях).
- Проверка в точках: для нескольких (случайных) значений $x_0$ выполнить сравнение $p(x_0)=\prod f_i(x_0)$.
- Для вещественных коэффициентов: комплексные корни идут парно (сопряжённые). Для кратных корней должны выполняться условия на производные: если корень $r$ кратности $m$, то $p(r)=p^{\prime }(r)=\cdots =p^{(m-1)}(r)=0$, но $p^{(m)}(r)\ne 0$.
Шаги для диагностики ошибок в синтетическом делении
1. Быстрая очевидная проверка:
- Перемножьте множители (или используйте CAS) и сравните коэффициенты; вычислите максимум абсолютной ошибки ${\max }_k|a_k^{(p)}-a_k^{(prod)}|$.
2. Проверка остатка и корней:
- Для каждого корня $r$, использованного в синтетическом делении, вычислите $p(r)$. Если $|p(r)|>\epsilon$ (например $\epsilon =10^{-12}$ для точных вычислений, больше для численных), то деление неверно.
3. Пошаговая проверка таблицы синтетического деления:
- Повторите процедуру по строкам: первый коэффициент переносится как есть; на каждом шаге умножение последнего полученного значения на $r$ и сложение с очередным коэффициентом исходного многочлена должно давать следующий.
- Если где-то несоответствие — точка ошибки (обычно арифметическая опечатка или знак).
4. Проверка соглашений о знаках и нормировке:
- Убедитесь, что при факторе вида $ax-b$ вы использовали корень $r=\frac{b}{a}$ (в синтетическом делении всегда используют корень в виде $x-r$). Если фактор не монический, предварительно вынесите множители $a$.
5. Повторное деление другим методом:
- Выполните обычное деление многочленов (long division) или алгоритм Горнера для проверки промежуточных коэффициентов.
6. Работа с дробями/плавающей точкой:
- При рациональных/целых коэффициентах выполняйте вычисления в виде дробей (точно). При десятичных — увеличьте точность и задайте допуск $\epsilon$; проверьте относительную погрешность.
7. Диагностика кратных или близких корней:
- Если корни близки друг к другу или кратны, небольшая арифметическая погрешность может сильно исказить коэффициенты — используйте многоточную проверку значений $p(x_0)$ и вычисление производных для оценки кратности.
8. Автоматизированный остаток:
- Постройте остаток $\Delta (x)=p(x)-\prod f_i(x)$ и вычислите норму коэффициентов, например $\Vert \Delta {\Vert }_{\infty }={\max }_k|{\Delta }_k|$. Если $\Vert \Delta {\Vert }_{\infty }$ мало — результат корректен в заданной точности.
Ремонт ошибок (если найдено несоответствие)
- Если ошибка локализована в шаге синтетического деления — исправьте арифметику (пересчитать соответствующую строку).
- Если использован неверный корень/знак — заменить $r$ на правильный (проверить фактор на форму $x-r$).
- При численных расхождениях — пересчёт в точной арифметике (дроби) или увеличение точности.
- В сомнительных случаях — проверить с помощью перемножения множителей и/или CAS.
Короткий чек-лист для ученика
- Совпадают степени и старший коэффициент?
- Для каждого используемого корня $r$ выполнено $p(r)=0$?
- Таблица синтетического деления проделана пошагово и в одном месте нет арифметических ошибок?
- Перемножение множителей даёт исходный многочлен (или остаток в пределах допуска равен нулю)?
Если нужно, могу привести короткий пример исправления конкретной ошибки в синтетическом делении.